C'est une erreur capitale que de bâtir des théories tant qu'on n'a pas de données.

Insensiblement, on se met �Etorturer les faits pour les faire cadrer avec les théories,

Au lieu d'adapter les théories aux faits.

 

Sir Arthur Conan Doyle, Sherlock Holmes, Un scandale en Bohême

 

 

 

CHAPITRE I

 

Apport des gravimètres supraconducteurs �El’étude des modes sismiques longue période

 

 

Des études précédentes ont montr�Eque les gravimètres supraconducteurs (dans la suite nous utilisons la notation SG) n’étaient pas d’aussi bonne qualit�Eque les sismomètres STS-1 dans la bande sismique (Freybourger et al., 1997 ; Van Camp, 1999). Cependant des résultats plus récents (Widmer-Schnidrig, 2003) et l’analyse des niveaux de bruit dans les stations GGP du chapitre I de la deuxième partie, ont prouv�Eque la nouvelle génération de SG pouvait surpasser, en terme de niveaux de densités spectrales, les meilleurs sismomètres longue période dans la bande sismique 0.3 - 1 mHz.

Dans ce chapitre nous mettons en évidence la contribution unique des SG �Ela sismologie longue période �Etravers deux exemples 1/ l’étude du splitting du mode propre fondamental ₀S₂ et 2/ la détection du mode sismique longue période ₂S₁.

           

            Ces résultats ont fait l’objet d’une publication dans Geophysical Research Letter.

 

 

I.1.          Intérêt des modes sismiques les plus graves

 

Les fréquences des modes dépendent de la forme de la Terre, de la structure en densit�E du module de cisaillement et du module d’incompressibilit�E En outre, la profondeur de pénétration des contraintes augmente avec la période d’oscillation. Les ondes sismiques longues périodes sont donc capables d’échantillonner l’intérieur profond de la Terre. La connaissance de la structure interne de la Terre nécessite donc, entre autre, l’étude des modes propres les plus graves.

Le mode propre sismique le plus grave est ₀S₂, appel�Ele mode « football » (voir chapitre I de la première partie) de par la forme de la Terre perturbée qui se déforme sous la forme d’un ballon de rugby. La Terre entière prend part �Ece mouvement (Fig. I. 1).

Le deuxième mode sismique sphéro�Eal le plus grave après ₀S₂ est ₂S₁. Il s’agit d’un mode de degr�Eun, particulier dans la mesure o�Eil implique une translation presque solide �Ela fois de la graine et du noyau liquide dans la même direction (Fig. I. 2). Il s’agit du premier harmonique du mode sub-sismique ₁S₁, appel�Emode de Slichter, qui consiste en une translation rigide de la graine solide par rapport au noyau fluide et au manteau.

 

            L’amélioration des modèles de densit�E1D est réalisable �Epartir de l’observation du splitting de Zeeman (splitting d�E�Ela rotation) de multiplets et du couplage de Coriolis entre des multiplets sphéro�Eaux et toro�Eaux (Widmer-Schnidrig, 2003). Le splitting d�E�E la rotation est important pour les modes graves du fait de leur plus grande proximit�E de la fréquence de rotation terrestre. Incidemment, les SG ont contribu�E�E quelques unes des meilleures identifications du mode fondamental toro�Eal ₀T₂ (Z�En et al., 2000). De plus, le splitting des modes au-dessous de 1 mHz est fortement sensible �Ela structure de densit�E3D du manteau et du noyau terrestres. Ainsi, les SG vont apporter des contraintes supplémentaires sur les modèles de densit�E�Etravers l’observation du splitting des modes les plus graves.

  

  

Fig. I. 1 Fonctions propres normalisées du mode sismique ₀S₂ (MINOS). U, V, P, R et S désignent respectivement le déplacement radial, le déplacement transverse, la perturbation du potentiel, la contrainte radiale et la contrainte transverse.

  

Fig. I. 2 Fonctions propres normalisées du mode sismique ₂S₁ (MINOS). U, V, P, R et S désignent respectivement le déplacement radial, le déplacement transverse, la perturbation du potentiel, la contrainte radiale et la contrainte transverse.

 

 

I.2.          Analyses spectrales après le séisme du Pérou

 

Le séisme du Pérou du 23 juin 2001 de magnitude Ms = 8.4, a permis de s’orienter vers l’étude des modes propres sismiques les plus graves. Les résidus de gravit�Econsidérés par la suite ont ét�Eobtenus �Echaque station par soustraction d’une marée synthétique locale et de l’effet de pression atmosphérique locale via un facteur d’admittance de -3 nm/s²/hPa.

 

 

I.2.1        Effet de la réduction de pression atmosphérique

 

Pour des fréquences inférieures �E1 mHz, la correction de pression atmosphérique diminue considérablement le niveau de bruit des sismomètres et des gravimètres relatifs (Z�En et Widmer, 1995 ; Beaudin, 1996 ; Beaudin et al., 1996 ;Freybourger et al., 1997 ; Roult et Crawford, 2000 ; Rosat et al., 2002 ; voir aussi le chapitre I de la deuxième partie). La figure (I. 3) illustre l’importance de la réduction de pression atmosphérique locale sur l’étude des modes propres sismiques longue période. Les données du sismomètre STS-1 de Matsushiro et du SG de Strasbourg mettent clairement en évidence les modes propres fondamentaux ₀S₂, ₀S₃ et ₀S₄ après correction de pression.

Fig. I. 3 Influence de la correction de l’effet de la pression atmosphérique locale sur le spectre de l’enregistrement du sismomètre STS-1 �EMatsushiro et du SG �EStrasbourg après le séisme du Pérou de 2001. Dans le spectre en gris�E la pression a ét�E ôtée via une admittance barométrique constante de -3 nm/s²/hPa.

 

L’utilisation d’une admittance variable en fonction de la fréquence permettrait d’améliorer légèrement le rapport signal sur bruit des modes propres sismiques, puisque l’admittance barométrique évolue en fonction de la période étudiée et en fonction de la fréquence des phénomènes étudiés (Crossley et al., 1995).

 

 

I.2.2        Comparaison sismomètres et gravimètres supraconducteurs

 

L’étude des niveaux de bruit dans la bande sismique longue période (cf. paragraphe I.4 du chapitre I de la deuxième partie) a montr�Eque les gravimètres supraconducteurs atteignaient des niveaux de bruit meilleurs que la plupart des sismomètres Streckeisen STS-1.

Les amplitudes spectrales des données enregistrées par des gravimètres supraconducteurs sont comparées sur les figures (I. 4) et (I. 5) aux enregistrements verticaux de sismomètres STS-1 �ECanberra, Australie (station du réseau GEOSCOPE) et Matsushiro, Japon (station du réseau GSN). A Canberra et Matsushiro, le rapport signal sur bruit est plus grand pour les SG que pour les STS-1. A Canberra, le mode ₁S₂, d’amplitude proche du nanogal (10^-2 nm/s²), est clairement visible. Le niveau de détection des petits signaux atteint donc le nanogal dans cette bande de fréquence pour cette station.

 

Fig. I. 4 Spectres d’amplitude sur 164 h d’enregistrement du sismomètre STS-1 (en haut) et du gravimètre supraconducteur (en bas) �ECanberra (Australie) après le séisme du Pérou de juin 2001.

 

 

Fig. I. 5 Spectres d’amplitude sur 274 h d’enregistrement du sismomètre STS-1 (en haut) et du gravimètre supraconducteur (en bas) �EMatsushiro (Japon) après le séisme du Pérou de juin 2001.

 

 

I.3.          Etude du splitting du mode sphéro�Eal ₀S₂

 

I.3.1        Etude des fréquences propres

 

Précédemment nous avons montr�Edes spectres calculés sur 164 h ou sur 274 h après l’occurrence du séisme du Pérou. La longueur sur laquelle le spectre est calcul�Edépend de l’amortissement du mode que l’on cherche �Eétudier. En général, on considère un enregistrement de longueur correspondant au temps d’amortissement t, soit 1 Q - cycle, (Dahlen, 1982) o�EQ est le facteur de qualit�Edu mode étudi�E Il s’agit d’un compromis entre la résolution spectrale et l’atténuation du signal (rapport signal sur bruit). Dans le cas de ₀S₂, si l’on prend 164 h de données, la résolution spectrale peut être améliorée afin d’étudier le splitting (cf. Fig. I. 6). Ainsi sur 274 h de données, la résolution est meilleure et permet de mieux distinguer les cinq singlets qui composent le mode ₀S₂ (cf. Fig. I. 7). Il n’est pas possible de considérer un enregistrement plus long �Ecause de la présence d’un second évènement 13 jours après le début du séisme du Pérou. Un agrandissement sur le mode propre fondamental ₀S₂ est représent�Esur la figure (I. 8).

 

            Pour la première fois, une identification parfaite des cinq singlets qui composent le mode ₀S₂ est possible �El’aide d’un seul enregistrement.

 

 

 

Fig. I. 6 Spectre d’amplitude normalis�E�EStrasbourg sur 164 h d’enregistrement du SG après le séisme du Pérou.

  

 

 

Fig. I. 7 Spectre d’amplitude normalis�E�EStrasbourg sur 274 h d’enregistrement du SG après le séisme du Pérou.

  

 

 

Fig. I. 8 Spectre d’amplitude �EStrasbourg (ST) sur 274 h d’enregistrement du SG après le séisme du Pérou. Zoom sur le mode fondamental ₀S₂.

  

 

L’analyse spectrale des données d’autres stations du réseau GGP est présentée sur la figure (I. 9) pour les gravimètres cryogéniques �ECanberra (Australie), Esashi (Japon), Moxa (Allemagne) et Ny-Alesund (Norvège).

 

L’instrument �EMoxa est un SG �Edouble sphère. Pour l’étude de ₀S₂ nous n’avons considér�Eque les données correspondant �Ela sphère du bas, celle du haut donnant un spectre d’amplitude équivalent. A Canberra, quatre singlets sur les cinq sont clairement visibles. Celui correspondant �El’ordre m = 0 n’est pas présent. Le calcul de l’excitation théorique de ₀S₂ après le séisme du Pérou (cf. Fig. I. 10) confirme que Canberra est sur un nœud pour ce mode et ce séisme. A Esashi, seuls les singlets pour m = -1, 1 et 2 sont visibles et �EMoxa ceux pour m = -1, 0, 1 et 2. A Ny-Alesund, seul le mode axial (m = 0) est observ�E

   

 

                                                                                               Canberra (CB)                                    Esashi (ES)

 

                                                                                               Moxa (M1)                                                     Ny-Alesund (NY)

  

Fig. I. 9 Spectres d’amplitude normalisés en nm/s² sur 274 h d’enregistrement de SG après le séisme du Pérou aux stations GGP de Canberra (Australie), Esashi (Japon), Moxa (Allemagne) et Ny-Alesund (Norvège). Zoom sur le mode fondamental ₀S₂.

  

 

Fig. I. 10 Spectre normalis�Ede l’excitation �ECanberra du mode ₀S₂ après le séisme du Pérou prédite par la théorie pour un modèle de Terre hydrostatique en rotation.

 

 

Afin de déterminer les fréquences propres de ₀S₂ que l’on observe �Epartir des données des gravimètres cryogéniques, on peut ajuster �Echaque pic spectral k une fonction de résonance, qui s’écrit, en ne considérant que les fréquences positives :

                                                                                                ,                                                   (I. 1)

 

avec a_k le taux d’amortissement défini en fonction du facteur de qualit�EQ par a_k = w_k/(2Q_k) et w_k la pulsation du mode k considér�E(Dahlen et Tromp, 1998). Les erreurs peuvent être déterminées de différentes manières. Soit on considère les erreurs formelles qui ne tiennent compte que du processus d’ajustement, soit on évalue des erreurs en utilisant la méthode proposée par Dahlen (1976 ou 1982). La première méthode de Dahlen (1976) permet d’estimer des erreurs sur l’estimation de fréquence �Epartir du rapport signal sur bruit de chaque singlet. La seconde (Dahlen, 1982) est basée sur un calcul qui tient compte de l’erreur d’ajustement et de la fenêtre d’apodisation utilisée pour le calcul spectral. Dans notre cas, les erreurs estimées par la méthode de Dahlen (1982) sont du même ordre de grandeur que les erreurs formelles, alors que celles évaluées �E partir du rapport signal sur bruit sont d’un ordre de grandeur plus élevées. Les erreurs purement formelles n’ont pas grand intérêt ; au contraire, des erreurs basées sur le rapport signal sur bruit ont clairement plus de signification et sont donc �Econsidérer dans toute estimation de fréquence.

 

 

Nous avons appliqu�Ela méthode de sommation de Cummins, présentée au chapitre I de la troisième partie, et pour chaque ordre m rehauss�E la fréquence a ét�Eestimée par ajustement d’une fonction de résonance définie par la relation (I. 1). Ces estimations des cinq fréquences propres sont comparées dans le tableau (I. 1) et sur la figure (I. 11) avec les valeurs obtenues par analyse d’un seul spectre (Strasbourg), avec celles observées par Ritzwoller et al. (1986), par Lindberg (1986) et Buland et al. (1979), ainsi qu’avec les valeurs que nous avons estimées pour les modèles de Terre PREM isotrope et 1066A. Notre estimation des fréquences propres splittées par la rotation et l’aplatissement de la Terre est basée sur la méthode de perturbation au premier ordre en ellipticit�Eet au second ordre en rotation de Dahlen et Sailor (1979) que nous avons appliquée aux fonctions propres calculées �El’aide du code MINOS (Woodhouse, 1988).

 

 

Les valeurs proposées par Lindberg (1986) ont ét�Eobtenues �Epartir d’une somme en harmoniques sphériques des enregistrements de sept stations équipées avec des gravimètres Lacoste - Romberg du réseau IDA après le séisme indonésien de 1977. Buland et al. (1979) ont effectu�Eégalement un stack de six enregistrements de stations longue période du réseau IDA sur 155 h après le séisme d’Indonésie de 1977. Ritzwoller et al. (1986) ont appliqu�Eune méthode de ‘stacking et stripping�E�E partir de plus d’une centaine d’enregistrements, après plusieurs séismes, et en ont déduit des fréquences pour ₀S₂.

 

 

 

* fréquences que nous avons estimées en utilisant une méthode de perturbation (Dahlen et Sailor, 1979) et les fonctions propres obtenues avec le logiciel MINOS (Woodhouse, 1988).

 

¹ stack de 7 enregistrements de stations longue période du réseau IDA après le séisme d’Indonésie de 1977.

 

² stack de 6 enregistrements de stations longue période du réseau IDA sur 155 h après le séisme d’Indonésie de 1977.

 

Tableau I. 1 Fréquences propres de ₀S₂ estimées �Epartir des observations et prédites pour les modèles de Terre PREM et 1066A par différents auteurs. Les erreurs sur l’estimation des fréquences �E partir des données de Strasbourg et du stack de 5 SG sont des erreurs formelles d’ajustement par moindres carrés d’une fonction de Lorentz.

 

 

            Nos erreurs issues de l’ajustement par moindres carrés de la fonction de résonance sont plus faibles que celles obtenues par Ritzwoller et al. (1986) et Lindberg (1986). Si nous estimons des erreurs �Epartir du rapport signal sur bruit (méthode de Dahlen, 1976), nos barres d’erreur sont d’un ordre de grandeur plus grandes (cf. Tableau I. 2). Cette méthode donne une estimation grossière de la qualit�Edes observations. La méthode proposée par Dahlen en 1982 est plus complète puisqu’elle tient compte �Ela fois du niveau de bruit et de la fenêtre d’apodisation utilisée pour le calcul du spectre. Les valeurs des erreurs ainsi calculées sont plus faibles pour m = -2, -1 et 0, mais plus élevées pour m = 1 et 2. Mais l’ordre de grandeur est �Epeu près le même.

 

 

 

Tableau I. 2 Différentes estimations des erreurs sur les fréquences propres de ₀S₂ observées après le séisme du Pérou avec le SG C026 de Strasbourg.

 

  

Les fréquences de ₀S₂ observées �E l’aide de l’enregistrement du gravimètre cryogénique install�E�EStrasbourg et celles observées �Epartir du stack des cinq enregistrements de gravimètres supraconducteurs sont légèrement plus basses que ce que prévoit la théorie et le splitting est légèrement plus large, ce qui revient �Echanger le modèle de densit�Eou l’atténuation.

 

 

Buland et al. (1979) ont déduit une fréquence dégénérée pour ₀S₂ �El’aide de la valeur moyenne des fréquences propres observées. Ils ont utilis�Ela relation w_moyen = w_d (1+p) o�Ep est le paramètre du splitting et w_moyen la moyenne des fréquences propres du multiplet. Le paramètre p utilis�E par Buland et al. (1979) est de -1.04 10^-4. A partir de la moyenne des fréquences déduites de la sommation des cinq enregistrements de SG (Tableau I. 1), la fréquence dégénérée serait alors de 0.30909 mHz, ce qui est bien inférieur aux fréquences dégénérées des modèles de Terre, tels que PREM et 1066A, ainsi qu’à la valeur de 0.30939 mHz obtenue par Buland et al. (1979).

 

 

                            

                                                                             m = -2                    m = -1                         m = 0                  m = 1                    m = 2

 

Fig. I. 11 Comparaison des fréquences des singlets de ₀S₂ et leurs barres d’erreur observées avec des SG (avec le SG de Strasbourg seul et avec le résultat après sommation en harmoniques de surface (méthode de Cummins et al., 1991) de cinq observations de SG), avec les valeurs observées par Ritzwoller et al. [1986], par Lindberg [1986] avec des sismomètres longue période et avec les valeurs prédites par différents auteurs pour les modèles de Terre 1066A et PREM.

 

 

I.3.2        Etude de l’atténuation de ₀S₂

 

En général, les observations individuelles de facteur de qualit�EQ sont difficilement réalisables pour les modes fondamentaux de fréquences supérieures �Eenviron 6 mHz, �Ecause de l’interférence significative avec les plus proches voisins. Dans le cas de ₀S₂, le splitting en rotation du multiplet est suffisamment large pour séparer complètement en fréquence les singlets individuels. Tanimoto (1990) a utilis�Ela variation apparente des valeurs de Q des singlets de ce mode afin d’en déduire la structure anélastique non sphérique �Egrande échelle du manteau inférieur. Widmer (1991) a repris les mêmes données pour montrer que les valeurs de Q des singlets dépendent fortement de la longueur de l’enregistrement utilisée dans l’analyse, ce qui suggère qu’une analyse en terme de structure de Q asphérique est prématurée. La moyenne des Q de singlets semble cependant être déterminée de manière robuste permettant ainsi d’en déduire la structure sphérique moyenne de Q.

 

Tanimoto (1990) a estim�Eles facteurs de qualit�EQ pour les cinq singlets, �Epartir de l’enregistrement d’un extensomètre après le séisme du Chili de 1960, pour m = -1 et m=1, et �Epartir de trois enregistrements de gravimètres �Eressort du réseau IDA, pour m = -2, 0 et 2, après le séisme indonésien (Sumbawa) de 1977. Il a détermin�EQ pour chaque singlet grâce �Eun ajustement itératif par moindres carrés d’une fonction de résonance �Echacun des pics spectraux. Ses résultats sont comparés sur la figure (I. 12) aux valeurs prédites (Rapha�Ele Millot-Langet, communication personnelle) pour le modèle PREM anisotrope et aux estimations de Q �E partir de l’enregistrement du SG �EStrasbourg, selon une méthode décrite ci-après.

 

 

 

Fig. I. 12 Valeurs de Q mesurées pour les cinq singlets. Les cercles solides correspondent �Enos estimations après le séisme du Pérou �El’aide des données du SG C026 de Strasbourg (Roult et al., 2004, en préparation). Les triangles sont les valeurs obtenues par Tanimoto (1990) après les séismes de Sumbawa (1977), �Epartir de données de gravimètres relatifs �Eressort du réseau IDA, pour m = -2, 0 et 2, et du Chili (1960), �El’aide de l’enregistrement d’un extensomètre, pour m = -1 et 1. Les carrés sont les facteurs de qualit�Eprédits par la théorie pour le modèle de Terre PREM anisotrope.

 

 

Il existe deux voies principales pour mesurer l’atténuation. Certains auteurs analysent les pics de résonance spectraux des oscillations libres sur de longues séries. La deuxième technique classique est basée sur l’analyse des amplitudes des ondes de surface de Rayleigh et de Love. Les différences entre les valeurs de Q mesurées �Epartir des modes propres ou des ondes de surface sont bien connues. Des différences existent également d’un modèle �El’autre. Roult et Clévéd�E(2000) proposent une nouvelle méthode afin de tenter de réconcilier les deux types de mesure. Ils utilisent une approche classique basée sur la décroissance de l’amplitude d’une oscillation libre dans le temps. L’exactitude et la précision des mesures de l’atténuation dans la Terre s’avèrent être améliorées par leur technique de mesure. Une étude théorique de la méthode a ét�Eproposée par Roult (1975), et Jobert et Roult (1976).

            Les mesures de la fréquence d’un mode impliquent simplement de pointer le pic dans le spectre d’amplitude de Fourier. Mais cela peut introduire un biais s’il y a des modes proches qui interfèrent. Pour y remédier il est nécessaire de prendre des séries suffisamment longues en fonction de la période du mode étudi�E ce qui n’est pas toujours possible avec les sismomètres qui deviennent rapidement très bruités aux basses fréquences.

 

            Les amplitudes des cinq singlets de ₀S₂ sont calculées par ajustement d’une fonction de résonance sur le spectre obtenu pour un certain nombre de séries (26 par exemple dans le cas de m = -2) de fenêtres temporelles de longueur 240 h décalées de 3 h. Pour chaque mode d’ordre azimutal m, la variation de l’amplitude de la forme A(t) ajustée au pic spectral sur les différentes séries est représentée en fonction du temps dans les graphes supérieurs des figures (I. 13) (a), (b), (c), (d) et (e). Le graphe du milieu correspond �Ela variation de la valeur de la période propre T(n) ajustée pour chaque série n, en fonction du temps. Enfin, le graphe du bas représente la variation de y(n)Q = pT(n)log(A(n)/A_max) en fonction du temps. La fenêtre appliquée �Ela série de données de durée 2L est la fonction : y(t) = (1-(t-L)²/L²)². T(n) est la période propre de la n^ième séquence, A_max est l’amplitude maximale (correspondant forcément �Ecelle de la première séquence) et A(n) est l’amplitude de la n^ième séquence. Dans les cas favorables, la courbe ainsi définie est très proche d’une droite de pente Q, et ce facteur de qualit�EQ est facilement détermin�Epar moindres carrés (Roult et Clévéd�E 2000).

 

           Pour les différents singlets, le nombre de séries ajustées change, car il n’est pas toujours possible d’ajuster une droite. Il faut tâtonner pour trouver la bonne longueur d’analyse. Ainsi, pour le singlet m = -1, par exemple, nous nous sommes limités �E8 séries.

 

            Les valeurs de Q ainsi estimées pour chaque singlet de ₀S₂ observ�Eavec l’enregistrement du SG C026 de la station Strasbourg après le séisme du Pérou sont comparées aux valeurs obtenues par Tanimoto (1990) sur la figure (I. 12). Nos facteurs de qualit�Esont très différents, sauf pour m = 2. Par contre, nos valeurs sont plus proches de celles prédites par la théorie pour le modèle de Terre PREM anisotrope (Rapha�Ele Millot-Langet, communication personnelle).

 Fig. I. 13 Détermination du facteur de qualit�EQ pour (a) le singlet m = -2 du mode ₀S₂ en utilisant 26 séries de durée 240 h, décalées de 3 h, (b) le singlet m = -1 du mode ₀S₂ en utilisant 9 séries de durée 240 h décalées de 3 h, (c) le singlet l’ordre m = 0 du mode ₀S₂ en utilisant 18 séries de durée 240 h décalées de 3 h, (d) le singlet m = 1 du mode ₀S₂ en utilisant 30 séries de durée 240 h décalées de 3 h et (e) le singlet m = 2 du mode ₀S₂ en utilisant 30 séries de durée 240 h décalées de 3 h. Le graphe du haut correspond �Ela variation des résonances en amplitudes ajustées au pic en fonction du temps. Au milieu, la moyenne des périodes de chaque série est dessinée en pointillés noirs, la période observée �EStrasbourg est en trait continu bleu et la valeur estimée pour le modèle PREM anisotrope est représentée en trait continu rouge. La courbe noire correspond aux périodes instantanées (périodes des maxima). Le graphe du bas correspond �Ela fonction y(t)Q = pT(t)log(A(t)/A_max), en trait continu noir, la droite ajustée par moindres carrés de pente Q est en pointillés noirs et la valeur théorique de Q estimée pour le modèle PREM anisotrope est indiquée en trait continu rouge. (Roult et al., 2004, en préparation).

 

 

 

I.3.3        Interprétations

 

La fréquence de chaque singlet est affectée par l’existence des singlets qui l’entourent, car série par série, la résolution spectrale est insuffisante, il y a donc interférence des singlets. C’est pourquoi, l’ensemble des périodes estimées série par série et représentées dans les graphes du milieu des figures (I. 13) (a), (b), (c), (d) et (e) n’est pas constante mais oscille.

 

            Il est intéressant de noter dans les graphes ci-dessus que l’écart entre les valeurs de Q pour les singlets m = -2 et m = +2 est plus élev�Eque celui prédit pour le modèle PREM anisotrope. Le problème majeur des déterminations de Q avec cette méthode est que l’estimation des erreurs est difficile, du fait que le résultat fluctue beaucoup avec les paramètres du calcul utilisés (nombre de séries, longueurs temporelles des séries, existence de pics identifiables). Le résultat est jug�Esatisfaisant quand le graphe du bas représente une droite. L’erreur peut alors être estimée dans ce cas inférieure �E20%. L’erreur a ét�Eestimée pour des enregistrements théoriques. Elle est inférieure �E1% pour chaque singlet, pour un signal théorique sans bruit et pour un pic suffisamment isol�Enbsp;; elle dépend énormément de la présence de bruit et de l’existence de pics de résonance voisins. Le calcul ne peut se faire de façon automatique, une discrimination visuelle doit être faite. Dans notre cas, après sélection humaine visuelle, l’erreur est inférieure �E± 10% (calcul estim�E�Epartir d’essais différents en faisant varier les paramètres cités plus haut ; Roult, G., Communication personnelle). La détermination des valeurs de Q des singlets pour un grand nombre de séismes d’une part, un grand nombre de stations d’autre part, s’avère indispensable et possible dans le futur.

 

 

I.4.          Analyses en ondelettes du mode ₀S₂

 

            Le mode ₀S₂ ressort nettement des analyses en ondelettes basées aussi bien sur l’ondelette de Morlet que sur le « sinus amorti » (cf. Fig. I. 14 (a) et (b) et Fig. I. 15). Les singlets se distinguent nettement dans les deux cas, en prenant une fréquence pour l’ondelette de Morlet suffisamment élevée, un paramètre K pour la sinuso�Ee amortie suffisamment faible (se référer au chapitre III de la troisième partie pour des explications concernant ces ondelettes et leur paramètre). Cependant, seule l’analyse en ondelettes « sinus amorti » permet de bien distinguer le singlet m = 0 (Fig. I. 15), avec une amplitude aussi forte que les quatre autres singlets. La transformée en ondelettes de Morlet de fréquence élevée (par exemple 4 Hz, sur la figure (I. 14) (b)) semble souligner la présence du singlet central m = 0, mais la transformée en ondelettes de Morlet correspondante a un module très faible par rapport aux autres singlets. Même en augmentant la fréquence de l’ondelette de Morlet mère, le singlet m = 0 ne ressort pas nettement par rapport aux quatre autres singlets.

 

            L’analyse en ondelettes « sinus amorti » est très sensible �Etoutes les petites variations dans le signal ; en particulier des pics dans le signal temporel introduisent des traits verticaux de forte amplitude dans le module de la transformée en ondelettes « sinus amorti » (Fig. I. 15). Dans le cas de l’utilisation d’ondelettes de Morlet, ces perturbations sont ignorées : l’ondelette de Morlet effectue une analyse moins détaillée du signal.

 

  

(a)

 

(b)

  

Fig. I. 14 Transformée en ondelettes de Morlet du spectre des résidus �EStrasbourg après le séisme du Pérou. L’ondelette de Morlet génératrice a une fréquence de (a) 1 Hz, (b) 4 Hz. Les résidus de gravit�Eont ét�Eanalysés sur 274 h après le séisme.

 

 

 

Fig. I. 15 Transformée en ondelettes « sinus amorti » du spectre des résidus �EStrasbourg après le séisme du Pérou. Le paramètre K utilis�Ea une valeur de 0.01. Les résidus de gravit�Eont ét�Eanalysés sur 274 h après le séisme.

 

 

 

I.5.          Détection du mode sismique ₂S₁

 

Le mode propre sphéro�Eal ₂S₁ est un mode élastique qui n’avait pas ét�Eobserv�Ejusque maintenant (voir par exemple Table 1 dans Dahlen et Sailor, 1979 ; Table 2 dans Crossley, 2003 ; le site Internet de REM (Reference Earth Model) http://mahi.ucsd.edu/Gabi/rem.html). Pourtant, en regardant plus précisément les spectres de Z�En et al. (1991, Fig. 6) et Widmer-Schnidrig (2003, Fig. 5), un faible pic semble émerger �Ela fréquence prédite de ₂S₁. Cependant, les auteurs n’ont pas discut�Esa présence éventuelle et n’ont pas recherch�Ele splitting.

 

Les spectres d’amplitude sur quatre jours (soit 96 h) de données après le séisme du Pérou aux stations Strasbourg et Sutherland (Fig. I. 16) font apparaû‘re de l’énergie aux fréquences qui correspondent respectivement aux singlets m = 1, de fréquence proche de 0.41 mHz, et m = -1, de fréquence proche de 0.4 mHz. Les mêmes spectres mais sur 164 h d’enregistrements (Fig. I. 17) ne montrent plus de pics qui ressortent légèrement du bruit aux fréquences théoriques de ₂S₁ qui sont indiquées en pointillés sur les figures (I. 16) et (I. 17).

 

 

I.5.1        Analyse multi - station

 

 

Nous essayons alors de détecter la présence du mode de degr�Eun ₂S₁ par une analyse multi �Estation selon la méthode de Courtier et al. (2000), présentée dans la troisième partie, chapitre I. Nous avons pour cela considér�Eles enregistrements de gravimètres supraconducteurs sur 164 h après le séisme du Pérou aux stations Cantley, Canberra, Strasbourg, Sutherland et Vienne qui forment une répartition géographique assez bien éparse et qui ont un bon niveau de bruit dans la bande sismique longue période (se référer �Ela deuxième partie de ce travail). Le résultat de cette analyse multi �Estation a fait l’objet d’une publication insérée �Ela fin de l’ouvrage. Les spectres des trois séquences issues de l’analyse mettent en valeur les trois singlets de ₂S₁ sur la figure (I. 18). La séquence axiale (figure I. 18 (b)) fait également ressortir le mode toro�Eal ₀T₂. A partir de ces trois spectres, nous avons ajust�Eune fonction de résonance (équation I. 1) afin d’estimer les trois fréquences propres observées de ₂S₁. Ces estimations sont comparées dans le tableau (I. 3) avec nos valeurs prédites pour les modèles de Terre PREM isotrope et 1066A. Nos calculs théoriques de fréquences splittées ont ét�Eeffectués �Epartir des fonctions propres calculées par MINOS (Woodhouse, 1988) et �El’aide d’une méthode de perturbation identique �Ecelle de Dahlen et Sailor (1979) (voir le paragraphe I.3.1 pour plus de détails).

Nous avons indiqu�Edeux types d’erreurs : les erreurs formelles d’ajustement par moindres carrés et les erreurs estimées �Epartir du rapport signal sur bruit selon la méthode de Dahlen (1976). Ces barres d’erreurs sont bien plus élevées mais elles sont plus significatives. Des barres d’erreur qui ne tiennent pas compte du rapport signal sur bruit n’ont pas de sens.

 

            Le graphe de la figure (I. 19) compare nos estimations des fréquences de ₂S₁ �Epartir des ajustements spectraux sur les résultats de l’analyse multi �Estation, en fonction des valeurs prédites pour les modèles de Terre PREM et 1066A. Nous avons indiqu�Eles barres d’erreur formelles, bien qu’elles ne soient pas significatives. Les erreurs estimées �Epartir du rapport signal sur bruit (Dahlen, 1976) englobent largement les fréquences théoriques. Notre observation n’est donc pas suffisamment précise pour apporter de nouvelles contraintes, dans le noyau, sur les modèles de Terre. D’autres observations de ₂S₁ sont nécessaires pour diminuer les erreurs sur les fréquences propres observées et ainsi pouvoir affiner les modèles de densit�Een profondeur.

 

 

Fig. I. 16 Spectres d’amplitude sur 96 h d’enregistrement après le séisme du Pérou �EStrasbourg et Sutherland. Les fréquences propres de ₂S₁ prédites par la théorie sont indiquées en pointillés verticaux.

  

 

 

Fig. I. 17 Spectres d’amplitude sur 164 h d’enregistrement après le séisme du Pérou �EStrasbourg et Sutherland. Les fréquences propres de ₂S₁ prédites par la théorie sont indiquées en pointillés verticaux.

 

 

 

Fig. I. 18 Spectres d’amplitudes normalisés des séquences (a) prograde (m = -1), (b) axiale (m = 0) et (c) rétrograde (m = 1) issues de l’analyse multi- station de cinq enregistrements de SG des stations de Cantley, Canberra, Strasbourg, Sutherland et Vienne, sur 164 h de données après le séisme du Pérou.

 

 

 

Tableau I. 3 Comparaison des fréquences de ₂S₁ estimées �Epartir des résultats de l’analyse multi - station avec les valeurs que nous avons calculées pour les modèles de Terre PREM isotrope et 1066A. Les erreurs de la deuxième colonne ont ét�Ecalculées �Epartir du rapport signal sur bruit.

 

 

     

                                                                                               m = -1                                     m = 0                                   m = 1

 

  

Fig. I. 19 Comparaison des fréquences des singlets de ₂S₁ et leurs barres d’erreur observées après l’analyse multi - station de cinq observations de SG �ECantley, Canberra, Strasbourg, Sutherland et Vienne, avec les valeurs prédites pour les modèles de Terre 1066A et PREM. Les erreurs sont des erreurs d’ajustement par moindres carrés d’une fonction de résonance de Lorentz sur le pic spectral. Les barres d’erreur obtenues en fonction du rapport signal sur bruit (Dahlen, 1976) sont suffisamment larges pour englober l’ensemble des valeurs théoriques et ne sont donc pas représentées.

 

 

I.5.2        Détection de triplet dans le spectre produit

 

Afin de confirmer la détection du mode de degr�Eun ₂S₁, nous appliquons la méthode de détection de multiplet présentée au chapitre II de la troisième partie, qui recherche des triplets de fréquences obéissant �E une loi de splitting quadratique et extrait le meilleur candidat �Epartir du maximum de l’énergie spectrale de chaque triplet candidat. Le spectre produit des trois séquences précédentes (m = -1, m = 0 et m = 1), issues de l’analyse multi - station, est balay�Eafin de détecter l’ensemble des triplets dont les fréquences respectent l’écartement prédit. Ce spectre produit est représent�Esur la figure (I. 20). Les valeurs de fréquences prédites par la théorie pour le mode ₂S₁ sont indiquées par les traits verticaux continus.

 

 

 

Fig. I. 20 Spectre produit des séquences prograde (m = -1), axiale (m = 0) et rétrograde (m = 1) issues de l’analyse multi- station de cinq enregistrements de SG des stations de Cantley, Canberra, Strasbourg, Sutherland et Vienne, sur 164 h de données après le séisme du Pérou. Les traits verticaux indiquent les fréquences prédites par la théorie.

 

 

Le produit spectral normalis�Edes triplets de fréquences candidats pour ₂S₁ est représent�Esur la figure (I. 21) en fonction de la fréquence centrale de chacun des triplets. Le maximum de ce produit est obtenu pour les trois fréquences 0.39877 0.40478 0.41094 mHz, ce qui correspond aux fréquences prédites pour ₂S₁ �E10^-5 mHz près.

 

La méthode de scan confirme donc la détection du mode ₂S₁.

 

 

Fig. I. 21 Produit spectral normalis�Edes triplets obéissant �Eune loi de splitting quadratique en fonction de la fréquence centrale du triplet.

 

 

I.5.3        Analyses en ondelettes

 

            Après avoir mis en évidence le triplet de fréquences du mode ₂S₁, par l’analyse spectrale et par le scan du spectre produit des séquences prograde, axiale et rétrograde, résultant de l’analyse multi �Estation des résidus aux stations Cantley, Canberra, Strasbourg, Sutherland et Vienne, nous essayons de faire ressortir ₂S₁ par des analyses en ondelettes. Cela donnera un argument supplémentaire de détection, et surtout, l’amortissement pourra être déduit des transformées en ondelettes « sinus amorti » lorsque, dans un travail futur, nous aurons mis au point une méthode pour optimiser le paramètre K de l’ondelette (se référer au chapitre III de la troisième partie), paramètre correspondant �El’inverse d’un facteur de qualit�E

 

            Nous analysons en ondelettes les résidus aux stations Sutherland et Strasbourg, ainsi que les trois séquences m = -1, m = 0 et m = 1 issues de l’analyse multi - station.

 

            Nous avons vu précédemment (Fig. I. 16) que le spectre sur 96 h de données enregistrées �E Sutherland après le séisme du Pérou possède de l’énergie autour de la fréquence 0.4 mHz et celui de Strasbourg autour de 0.41 mHz. Les analyses en ondelettes de Morlet (Fig. I. 22 et Fig. I. 23) sur les enregistrements de ces deux stations et l’analyse en ondelettes « sinus amorti » (Fig. I. 24) sur les données de Strasbourg, confirment la présence de signal �Eces fréquences. La transformée en ondelettes de Morlet sur 274 h de données �EStrasbourg (Fig. I. 23) ou celle en ondelettes « sinus amorti » (Fig. I. 24) montre que la présence du mode ₂S₁ semble durer quatre jours après le séisme du Pérou. Au-del�Ede six jours, le module de la transformée en ondelettes est quasi �Enul, le mode n’est plus visible. Mais pour le moment il n’est pas possible d’estimer son amortissement �Epartir de ces scalogrammes.

 

 

Temps en jours

Fig. I. 22 Transformée en ondelettes de Morlet du spectre des résidus �ESutherland sur 96 h après le séisme du Pérou. L’ondelette de Morlet génératrice a une fréquence de 1 Hz.

  

 

Fig. I. 23 Transformée en ondelettes de Morlet du spectre des résidus �EStrasbourg sur 274 h après le séisme du Pérou. L’ondelette de Morlet génératrice a une fréquence de 2 Hz.

  

 

Fig. I. 24 Transformée en ondelettes « sinus amorti » du spectre des résidus �EStrasbourg sur 274 h après le séisme du Pérou. Le paramètre K utilis�Eest de 0.01.

 

 

(a)

 

(b)

 

(c)

  

Fig. I. 25 Transformée en ondelettes « sinus amorti » des séquences (a) prograde, (b) axiale et (c) rétrograde de l’analyse multi �Estation effectuée sur les résidus de gravit�E aux stations Cantley, Canberra, Strasbourg, Sutherland et Vienne, 164 h après le séisme du Pérou. Le paramètre de l’ondelette a une valeur K = 0.01.

 

 

            La transformée en ondelettes « sinus amorti » de paramètre K = 0.01 de la séquence prograde (singlet m = -1) fait nettement ressortir les singlets m = 0 et m = 1 aux fréquences proches de 0.405 mHz et 0.41 mHz, comme le montre la figure (I. 25) (a). Le singlet m = -1 n’est pas visible. Par contre, du signal d’amplitude aussi forte, émerge près de la fréquence 0.392 mHz. Il ne s’agit pas du mode toro�Eal ₀T₂ dont la fréquence est plutôt autour de 0.38 mHz. Ce signal est pour l’instant inexpliqu�E Il se retrouve sur la transformée en ondelettes « sinus amorti » de la séquence rétrograde (m = 1) représentée sur la figure (I. 25) (c), ainsi que sur la transformée en ondelettes « sinus amorti » de la séquence axiale (m = 0) de la figure (I. 25) (b) mais avec une amplitude plus faible.

            La transformée en ondelettes « sinus amorti » de la séquence axiale (m = 0) de la figure (I. 25) (b) souligne clairement le singlet m = 0. L’amplitude de la transformée en ondelettes semble augmenter dans le temps : la corrélation entre la sinuso�Ee amortie (ondelette) et le signal temporel correspondant au mode axial, se réalise donc mieux un certain temps après la perturbation (pic dans le temps) �Et = 2 jours, qui correspond �Eune réplique du séisme.

 

 

 

I.6.          Conclusion

 

 

            Les gravimètres du réseau mondial GGP ont permis l’étude du splitting du mode fondamental ₀S₂ avec un éclatement en cinq pics qui n’avait jamais ét�Eaussi bien observ�Ejusque l�Eavec un seul enregistrement. La combinaison des données de cinq gravimètres supraconducteurs judicieusement répartis sur le globe a permis la première détection du mode sismique de degr�E un, le mode ₂S₁. Son observation est basée sur la mise en évidence des trois pics du triplet dont les amplitudes sont respectivement rehaussées lors de l’analyse multi �Estation. Le balayage des fréquences autour de la période centrale de ce mode détecte également un ‘triplet�Eavec des fréquences qui respectent une loi de splitting quadratique et qui sont proches des valeurs prédites pour le mode ₂S₁. Enfin, le dernier argument de l’observation de ₂S₁ est l’analyse temps - échelle avec une ondelette de Morlet et avec une ondelette « sinus amorti » admissible.

 

 

            La contribution indéniable des gravimètres supraconducteurs �El’étude des modes propres sismiques les plus graves est clairement mise en évidence, laissant entrevoir d’immenses possibilités d’études �Epartir du splitting de ces modes.

 

            Il s’agit maintenant de s’intéresser �Ela recherche du mode sub-sismique de translation de la graine ₁S₁ qui représente un défi pour les méthodes de sommation et d’analyse du signal. Nous appliquons, dans la section suivante, les outils, qui ont très bien fonctionn�Epour les modes sismiques ₀S₂ et ₂S₁, aux données de gravimètres cryogéniques afin de tenter de mettre en évidence le triplet de Slichter, d’amplitude plus faible et de paramètres (fréquence et amortissement) mal connus.