CHAPITRE I       

 

Méthodes de sommation des données

 

Le réseau mondial GGP (Global Geodynamics Project) de gravimètres supraconducteurs a pour objectif d’extraire des phénomènes globaux (les modes propres) masqués par des perturbations locales. Pour cela, une combinaison de données est nécessaire. Les premières sommations (« stacking ») de données issues d’un réseau mondial de stations sismiques ont ét�Eréalisées par le sismologue Mendiguren (1973). Il utilisait le signe de l’amplitude de l’excitation théorique, au lieu de l’amplitude elle-même, comme poids dans le stack, c’est-�Edire qu’il renversait simplement la polarit�Edes enregistrements dont l’amplitude de l’excitation théorique était négative avant de sommer. Les méthodes de stacking utilisées maintenant en sismologie (Gilbert et Dziewonski, 1975) reposent sur une somme des enregistrements pondérée par l’amplitude prédite.

Dans ce chapitre, deux méthodes de sommation de données sont présentées et testées sur des signaux synthétiques. Il s’agit de méthodes applicables indépendamment de la source d’excitation des modes propres puisqu’elles ne tiennent pas compte de l’amplitude prédite pour pondérer mais seulement de la distribution géométrique et de la phase. Premièrement, une méthode de stacking en harmoniques sphériques de surface, développée par Cummins et al. (1991), est considérée. Dans une seconde partie, une méthode de sommation propre aux modes de degr�Eun, appelée ‘analyse multi - station�Eet proposée par Courtier et al. (2000), est résumée et testée sur des triplets synthétiques.

 

I.1             Signaux synthétiques

 

Afin de tester les deux méthodes de sommation, nous utilisons des signaux synthétiques proches de l’idée que nous avons de l’effet en gravit�Een surface de la translation de la graine. Pour cela, nous reprenons la décomposition, selon l’ordre m dans un développement en harmoniques sphériques, proposée par Courtier et al. (2000), et explicitée dans le cas complexe au paragraphe (I.3.2), du triplet de Slichter �Eune station i de coordonnées (q_i, f_i) (colatitude, longitude) sous la forme de trois composantes prograde g_p (ordre m = 1), axiale g_a (m = 0) et rétrograde g_r (m = 1), d’amplitudes a_p, a_a et a_r et de pulsations respectives w_p, w_a, et w_r, qui s’écrivent :

 

 

Nous considérons donc un signal synthétique réel, constitu�Ede la somme de trois sinuso�Ees (parties réelles) g_p+g_a+g_r, d’amplitudes a_p = a_a = a_r = 0.05 nm/s², injectée dans un bruit blanc d’écart - type s = 0.5 nm/s², ce qui équivaut �Eune densit�Espectrale de puissance moyenne de 2s² To = 15 (nm/s²)²/Hz = -165 dB. Ce niveau de bruit correspond au niveau moyen, dans la bande sub-sismique, de l’ensemble des données des stations GGP, comme nous l’avons vu dans la deuxième partie, chapitre I. Les fréquences utilisées sont celles que Courtier et al. (2000) affirment avoir détectées, c’est-�Edire 6.9186 10^-5 Hz (4.0125 h), 7.3767 10^-5 Hz (3.7680 h) et 7.7544 10^-5 Hz (3.5855 h). Nous considérons de telles données synthétiques aux stations GGP suivantes : Cantley, Canberra, Matsushiro, Strasbourg, Sutherland et Vienne, échantillonnées �ETo = 1 min sur N = 200 000 points (~139 jours). L’amplitude A de 0.05 nm/s² attribuée correspond �Eun niveau de densit�Espectrale de puissance égale �EPSD = A√(NTo)/2 = 86 (nm/s²)²/Hz = -161 dB. Le signal est donc 7 dB au-dessus du niveau de bruit moyen. Cette relation entre PSD et amplitude du signal n’est valable que dans le cas d’un signal harmonique stationnaire.

 

Les amplitudes spectrales individuelles aux stations sont représentées figure (I. 1). Le mode prograde (m = -1) est visible avec un rapport signal sur bruit de 5.6 �ECantley, 3.2 �ECanberra, 5.6 �EMatsushiro, 4.6 �EStrasbourg, 7.5 �ESutherland et 3.7 �EVienne. Le mode axial a un rapport signal sur bruit de 5.1 �ECantley, 5.6 �ECanberra, 5.1 �EMatsushiro, 5.6 �E Strasbourg, 3.3 �ESutherland et 4.6 �EVienne. Le mode équatorial rétrograde émerge avec un rapport signal sur bruit de 4.2 �ECantley, 5.6 �ECanberra, 6.9 �E Matsushiro, 3.7 �EStrasbourg, 7.9 �ESutherland et 6 �EVienne.

 

Fig. I. 1 Spectres d’amplitude normalisés des signaux synthétiques aux stations Cantley (CA), Canberra (CB), Matsushiro (MA), Strasbourg (ST), Sutherland (SU) et Vienne (VI). Les traits verticaux indiquent les fréquences injectées.

 

 

I.2             Méthode de sommation en harmoniques sphériques de surface

 

I.2.1        Principe

 

Un signal de gravit�Es_i(t) de fréquence w enregistr�E�Eune station de coordonnées (q_i, f_i) a une amplitude �Ela surface de la Terre décrite par les harmoniques sphériques de surface. Le signal enregistr�E�Ela station i est la somme du signal s_i(t) et du bruit n_i(t) suppos�Enon corrél�Eentre les stations. La méthode de sommation utilisée par Cummins et al. (1991) sur des données de gravimètres relatifs Lacoste - Romberg du réseau IDA (International Deployment of Accelerometers) s’appuie sur l’orthonormalit�Edes harmoniques sphériques de surface.

 

Pour un mode de degr�El et d’ordre m, on constitue la somme :

_,

avec désignant le complexe conjugu�Ede l’harmonique sphérique de surface .

Cette opération va tendre �Eisoler les composantes de s_i(t)+n_i(t) qui ont une amplitude �Ela surface proportionnelle �E. Le facteur de normalisation  a pour objectif de produire un stack d’amplitude A d�E�Ela présence d’un signal de gravit�E sinuso�Eal d’amplitude A en l’absence de bruit.

 

 

I.2.2        Test sur des signaux synthétiques

 

Une première sommation des données synthétiques �ECantley, Canberra, Matsushiro, Strasbourg et Vienne génère les trois séquences de la figure (I. 3). Les modes m = -1, m = 0 et m = 1 issus de cette combinaison émergent respectivement d’un facteur 14 (Fig. I. 2 a), 25 (Fig. I. 2 b) et 14 (Fig. I. 2 c) environ par rapport au niveau de bruit. L’insertion de la station Sutherland (Afrique du sud) dans la sommation des données, a pour effet de mieux faire ressortir le mode axial correspondant �Em = 0, au détriment des deux modes équatoriaux (Fig. I. 3). Cela provient du fait que la station se situe dans l’hémisphère sud et sur un axe Nord - Sud passant par l’Europe. Cette répartition géographique des stations a pour conséquence d’augmenter le poids de la composante axiale, c’est-�Edire celle d’ordre m = 0.

  

 

 

 

 

Fig. I. 2 Résultats de la somme en harmoniques sphériques de surface sur des signaux synthétiques correspondant au degr�Eun, aux stations Cantley, Canberra, Matsushiro, Strasbourg et Vienne. De haut en bas sont respectivement représentés les spectres pour (a) m = -1, (b) m = 0, et (c) m = 1. Les traits verticaux indiquent les fréquences injectées dans le signal synthétique.

 

 

 

Fig. I. 3 Résultats de la somme en harmoniques sphériques de surface sur des signaux synthétiques correspondant au degr�Eun, aux stations Cantley, Canberra, Matsushiro, Strasbourg, Sutherland et Vienne. De haut en bas sont respectivement représentés les spectres pour (a) m = -1, (b) m = 0, et (c) m = 1. Les traits verticaux indiquent les fréquences injectées dans le signal synthétique.

 

 

I.3             L’expérience globale multi - station

 

I.3.1         Introduction

 

 

            Courtier et al. (2000) ont développ�E une méthode qui exploite les caractéristiques spatiales et temporelles des modes de Slichter de degr�Eharmonique un. Les signaux de gravit�Edes modes de translation équatoriaux se déplacent en longitude �Edes vitesses fixes et en sens oppos�E tandis que le mode axial est axisymétrique et constant en longitude. En outre, les signaux dépendent différemment de la latitude. Ils ont test�Ecette méthode sur des synthétiques et sur des données simultanées d’un réseau de cinq stations de gravimètres supraconducteurs. Leurs résultats se sont avérés encourageant et ont conclu �Eune identification des trois modes de translation de la graine aux fréquences 6.9186 10^-5 Hz (4.0125h), 7.3767 10^-5 Hz (3.7680 h) et 7.7544 10^-5 Hz (3.5855 h), respectivement pour les modes rétrograde, axial et prograde. Cette détection n’a cependant pas pu être renouvelée avec la même méthode sur des données plus récentes et moins bruitées (Rosat et al. 2003).

            Cette méthode peut être considérée comme une spécialisation aux modes de degr�Eun de la recherche plus générale des modes, appliquée par Cummins et al. (1991) (paragraphe I.2). Elle est applicable �Etout mode de degr�Eun et pas uniquement au triplet de Slichter.

 

 

I.3.2         Principe de la méthode

 

Le mode de translation de la graine est, par la géométrie du mouvement, un mode sphéro�Eal de degr�Eun. Il se caractérise donc par une décomposition en harmoniques sphériques de surface Y_lm(q,f) de degr�El = 1 et d’ordre m = -1, 0 et 1, avec :

 

  et ,

 

o�E q et f représentent la colatitude et la longitude en un point de la surface de la Terre (Fig. I. 4).

 

            L’expérience globale multi - station repose sur l’hypothèse fondamentale que la gravit�Eobservée �Ela station i de colatitude q_i et de longitude f_i est composée des signaux des trois modes de translation (équatorial prograde, axial et équatorial rétrograde), d’amplitudes a_p, a_a, a_r et de fréquences angulaires w_p, w_a, w_r, respectivement, plus du bruit n_i(t) suppos�Enon corrél�Eentre les stations. Le signal du mode équatorial prograde circule en longitude dans le sens positif (e^-if) en complétant une révolution par cycle tandis que le mode équatorial rétrograde complète une révolution par cycle en longitude dans le sens négatif (e^if). Ces deux modes produisent des signaux qui dépendent uniquement du sinus de la colatitude (par la dépendance des fonctions harmoniques sphériques de surface Y_1-1 et Y₁₁). Le signal du mode axial est indépendant de la longitude et dépend du cosinus de la colatitude (cf. Y₁₀). Utilisant la notation complexe afin de conserver l’information de la phase, on écrit le signal de gravit�Eobserv�E�Ela station i sous la forme complexe :

 

.

 

Pour N stations, on peut former les sommes :

 

,

,

Ces trois équations représentent un système linéaire des trois signaux complexes, ,  dont la matrice système est définie par :

 

.

 

S est appelée ‘matrice station�Epuisqu’elle ne dépend que des coordonnées des stations. Elle présente des singularités aux pôles et �El’équateur.

 

 

            L’inversion de la matrice station permet de séparer les séries d’observations en trois nouvelles séquences :

o�Enbsp;:

et o�Enbsp;:

 

avec m_ij désignant les éléments complexes de l’inverse de la matrice station S. Chacune des trois nouvelles séquences consiste en une composante complexe du mode de translation plus du bruit.

 

 

 

Fig. I. 4 Définition des coordonnées sphériques (q , f) d’un point M de la surface terrestre. L’angle q correspond �Ela colatitude et f �Ela longitude. La composante m = 0 du triplet de Slichter est en cosq, donc suivant l’axe axial z. Les deux autres composantes m = -1 et m = 1 sont en sinq  donc se situent dans le plan équatorial (x , y).

 

 

I.3.3        Test sur des signaux synthétiques

 

 

Une première analyse multi- station avec les données synthétiques �ECantley, Canberra, Matsushiro, Strasbourg et Vienne génère les trois séquences dont les spectres et le spectre produit sont représentés sur la figure (I. 5). Les modes équatoriaux prograde et rétrograde issus de cette analyse émergent respectivement d’un facteur 26 et 25 par rapport au bruit. Le mode axial ressort 24 fois au-dessus du niveau de bruit moyen.

 

Une deuxième analyse incluant les données synthétiques �Ela station Sutherland met en évidence le mode axial avec un rapport signal sur bruit de 32 (Fig. I. 6) et les modes équatoriaux prograde et rétrograde sont respectivement 17 et 18 fois supérieurs au niveau de bruit moyen (médiane). L’introduction des coordonnées de la station Sutherland contribue donc �Erenforcer l’émergence du mode axial au détriment des deux modes équatoriaux, comme dans le cas de la sommation plus générale en harmoniques sphériques de surface effectuée au paragraphe (I.2.2).

 

 

            Un travail d’optimisation des éléments de la matrice station S pourrait être effectu�Eafin de voir quelles combinaisons de coordonnées sont les plus efficaces �Emettre en valeur les trois séquences prograde, axiale et rétrograde. Le choix des stations serait alors optimis�E Malheureusement, le nombre de stations équipées de gravimètres supraconducteurs étant restreint, le choix est de toute manière limit�E et donc, dans la suite, nous avons utilis�Eles stations les moins bruitées dans la bande sub-sismique et qui sont bien réparties sur le globe.

 

 

            Dans les deux spectres produits représentés sur les figures (I. 5) et (I. 6), le mode axial est très faible par rapport aux trois composantes. Cela s’explique par le poids plus important des séquences prograde et rétrograde dans le calcul du spectre produit : ces séquences sont également rehaussées dans la séquence axiale, alors que la composante axiale n’est mise en valeur que dans la séquence m = 0.

 

Fig. I. 5 Résultats de l’analyse multi- station sur des données synthétiques aux stations Cantley, Canberra, Matsushiro, Strasbourg et Vienne. De haut en bas sont respectivement représentés les spectres des séquences équatoriale prograde (m = -1), axiale (m = 0), équatoriale rétrograde (m = 1) et le spectre produit des trois séquences.

 

 

Fig. I. 6 Résultats de l’analyse multi- station sur des données synthétiques aux stations Cantley, Canberra, Matsushiro, Strasbourg, Sutherland et Vienne. De haut en bas sont respectivement représentés les spectres des séquences équatoriale prograde (m = -1), axiale (m = 0), équatoriale rétrograde (m = 1) et le spectre produit des trois séquences.

 

 

I.4             Conclusion

 

Nous avons considér�Eun mouvement de translation de la graine, de fréquences respectives 6.9186 10^-5 Hz (4.0125 h) pour l’ordre m= -1, 7.3767 10^-5 Hz (3.7680 h) pour m = 0 et 7.7544 10^-5 Hz (3.5855 h) pour m = 1. Nous avons introduit un bruit d’amplitude 0.5 nm/s² afin de respecter le niveau de bruit des stations GGP estim�Een deuxième partie, Chapitre I. L’amplitude du signal considér�Ea ét�Efixée �E0.05 nm/s², ce qui correspond �Eun rapport signal sur bruit de 7 dB. Dans ces conditions, les méthodes utilisées mettent incontestablement en valeur chacun des singlets du triplet.

 

 

L’étude de ces méthodes de combinaison de données sur des signaux synthétiques met en évidence l’importance de la répartition géographique des stations utilisées. Il est important de considérer une distribution homogène entre les hémisphères sud et nord, et entre les hémisphères est et ouest. Dans la répartition actuelle des stations du réseau GGP, il manque de nombreuses stations dans l’hémisphère sud. L’introduction d’une nouvelle station au Chili, �EConception et peut être �ETahiti, dans la deuxième phase (2004-2007) du projet GGP, sera bénéfique pour ces méthodes de sommation.

 

 

            La difficult�Ede l’analyse spectrale de Fourier réside dans l’interprétation des pics spectraux qui émergent du bruit. Il s’agit de savoir s’ils sont significatifs et donc correspondent �Edu signal, ou s’ils sont simplement du bruit. Pour cela, nous présentons dans le chapitre suivant, des méthodes de détection automatique de résonances spectrales dans les spectres d’amplitude qui obéissent �Eune loi d’écartement en fréquences.