CHAPITRE I

 

Théorie des modes propres

 

 

En sismologie et en géodynamique, aux courtes échelles de temps, la Terre est considérée comme un milieu continu élastique (avec une possible légère anélasticit�E autogravitant. Les principes essentiels de la gravito - élasticit�Esont donc utilisés pour étudier les oscillations libres de la Terre. L’analyse théorique des modes propres de la Terre a ét�E initiée il y a plus d’un siècle et demi par le mathématicien français Poisson (1829), mais les équations d’équilibre et de vibration étaient incomplètes. La première estimation numérique d’une fréquence propre de vibration de la Terre a ét�Eréalisée par Lord Kelvin en 1863. Cependant, le premier traitement complet des oscillations libres d’une sphère non - gravitante est l’analyse de Lamb (1882). Il distingua clairement les oscillations sphéro�Eales des oscillations toro�Eales. Lamb conduit son analyse en termes de coordonnées cartésiennes �E trois dimensions ; cependant Chree (1889) montra qu’utiliser des coordonnées sphériques donne les mêmes résultats. Depuis, la représentation en harmoniques sphériques de la déformation élasto - gravitationnelle de la Terre est employée dans la majorit�Edes analyses théoriques. La première intégration numérique des équations différentielles radiales qui décrivent la déformation élasto �E gravitationnelle d’un modèle de Terre sphérique �Esymétrie sphérique a ét�E effectuée par Takeuchi (1950) sans l’aide d’ordinateur. Depuis, Gilbert et ses collaborateurs ont domin�Ela recherche des modes propres et son programme d’intégration numérique est �Ela base des codes de calcul sur ordinateur (tels que MINOS et OBANI) largement utilisés aujourd’hui pour calculer les fréquences et fonctions propres de la Terre.

Dans ce premier chapitre du travail de thèse, nous rappelons l’essentiel de la théorie des modes propres entièrement exposée dans le livre de Dahlen et Tromp (1998) intitul�E‘Theoretical Global Seismology�E Relativement �Eun état de référence en équilibre hydrostatique, on introduit une perturbation dans la densit�Eet le champ de contraintes. Par rapport �Ecet état perturb�E la théorie des modes propres est une théorie linéaire, c’est-�Edire la réponse de la Terre est supposée linéaire par rapport �El’excitation initiale : les équations du mouvement sont linéarisées.

 

 

   I.1.        Les oscillations libres

I.1.1       Introduction

 

Tout corps élastique fini peut vibrer librement �Edes fréquences déterminées par sa forme et sa constitution. Le spectre de ces oscillations contient un nombre infini de fréquences discrètes. Ces oscillations sont appelées les modes propres du corps ou oscillations libres. Le terme « libre » est important car il signifie bien que ces oscillations ont lieu après que la source d’excitation a cess�Ed’agir.

       Dans le cas d’une corde attachée �Eses deux extrémités, on peut observer des ondes stationnaires sous l’effet d’une impulsion initiale qui génère des oscillations (Fig. I. 1 a). Seules certaines longueurs d’onde et fréquences sont permises, fixées par les conditions aux limites. Il en va de même pour une sphère (Fig. I. 1 b).

            Dans le cas de la Terre, après un séisme de magnitude suffisamment élevée (en général une magnitude supérieure �E 6.5), on observe des vibrations : les paquets d’ondes progressives font plusieurs fois le tour de la Terre, dans des directions opposées et finissent par se rejoindre et interférer entre elles pour produire des ondes stationnaires. Ces ondes stationnaires oscillent �Edifférentes fréquences. La Terre étant limitée par une surface libre, le séisme génère ces modes d’oscillation de nature élasto �Egravitationnelle. Chaque mode possède une fréquence et une atténuation caractéristiques qui dépendent de la structure de la Terre. Ces modes d’oscillations libres sont appelés modes propres sismiques et perdurent jusqu’à un mois après le séisme.

 

(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(b)

Fig. I. 1 (a) Schéma d’un mode propre fondamental de vibration et de ses trois premières harmoniques : exemple d’une corde. (b) Exemple d’oscillations libres de la Terre générées par un séisme.

 

 

I.1.2       Equations pour un modèle de Terre de type SNREI

 

             Un modèle de Terre de type SNREI est un modèle �Esymétrie sphérique, sans rotation, parfaitement élastique et isotrope. Le modèle de référence PREM isotrope (Preliminary Reference Earth model ; Dziewonski et Anderson, 1981) est de type SNREI. Les équations linéarisées et les conditions aux limites qui gouvernent les oscillations libres d’un modèle de Terre de type SNREI sont les suivantes :

  

Equation linéarisée de conservation du moment cinétique dans le domaine fréquentiel :

 

Les forces en jeu sont les forces inertielles, les forces élastiques causées par la déformation du corps et les forces gravitationnelles dues �Ela variation du potentiel gravitationnel.

 

 

 

avec :

            s Le champ de déplacement, s_r la composante radiale de ce champ,

            r La densit�Enon perturbée,

            f La perturbation eulérienne du potentiel gravitationnel,

            k Le coefficient d’incompressibilit�Eisentropique,

            m La rigidit�E

            g le champ de gravit�Enon perturb�E

            G la constante de gravitation universelle G = 6.67 10^-11 N.m².kg^-2,

            r la norme du rayon vecteur  en coordonnées sphériques,

            w la pulsation,

            et Ñ l’opérateur gradient.

 

Le point et ∂_r dénotent la dérivation par rapport au rayon r.

 

 

Equation de Poisson :

 

 

Conditions aux limites :

 

Les solutions de ces deux équations doivent satisfaire les conditions aux limites sur le champ de déplacement, sur le champ de contraintes et sur le potentiel perturb�E c’est �Edire :

 

-         la continuit�Edes trois composantes du déplacement, sauf aux interfaces liquide - solide o�Ele glissement est permis,

-         la continuit�Edes trois composantes de la contrainte aux interfaces,

-         l’annulation des trois composantes de la contrainte �Ela surface libre,

-         l’absence de cisaillement aux interfaces solide �Esolide,

-         la continuit�Ede la perturbation du potentiel et de la gravit�Eaux interfaces déformées.

 

Il s’agit d’un problème aux valeurs propres dont les solutions sont les fonctions propres associées chacune �Eune fréquence propre. Afin de calculer les fréquences propres et les fonctions propres d’un modèle de Terre de type SNREI, il faut convertir les équations du mouvement linéarisées et les conditions aux limites associées en un système équivalent d’équations scalaires couplées. Cette importante tâche peut être réalisée �El’aide de trois méthodes :

 

·        utilisation des harmoniques sphériques vectorielles,

·        représentation en harmoniques sphériques généralisées,

·        ou utilisation du principe de Rayleigh.

 

Les résultats évoqués par la suite sont basés sur la première méthode utilisant le développement en harmoniques sphériques vectorielles.

 

 

I.1.3       Solutions du problème aux valeurs propres

 

Décomposition en harmoniques sphériques vectorielles :

 

Dans le système de coordonnées sphériques r, q et f, on cherche des solutions propres de la forme :

 

            s = U P_lm + V B_lm + W C_lm     et         f = P Y_lm,

 

o�E les fonctions propres radiales U(r), V(r), W(r) et P(r) sont fonctions du rayon uniquement. Les harmoniques sphériques vectorielles P_lm, B_lm et C_lm s’expriment en fonction du scalaire Y_lm, harmonique sphérique de surface réelle, o�El est le degr�Eet m l’ordre de l’harmonique sphérique, selon :

, et

L’opérateur Ñ_t désigne le gradient tangentiel de surface.

En remplaçant s par son développement en harmoniques sphériques vectorielles dans l’équation du mouvement linéarisée (I. 1), on obtient trois équations différentielles ordinaires du second ordre en U, V et W.

 

De manière analogue au champ de déplacement, le tenseur de contraintes T se développe sous la forme. Comme le tenseur T peut s’écrire en fonction du déplacement s, on obtient les relations entre R, S, T et U, V, W :

 

 

L’équation de Poisson, quant �Eelle, est équivalente �Eune équation différentielle du second ordre en P :

 

.

 

I.1.4       Découplage et dégénérescence

 

Les équations scalaires et les conditions aux limites qui déterminent les fonctions propres radiales U, V et P sont complètement découplées de celles qui déterminent W. Par conséquent, un modèle de Terre SNREI possède deux types de modes normaux bien distincts �Eles modes sphéro�Eaux dont les déplacements sont de la forme U P_lm+V B_lm et les modes toro�Eaux dont les déplacements sont de la forme W C_lm. Le cas le plus simple de mode sphéro�Eal est celui o�Ele déplacement est purement radial : on parle alors de modes radiaux (V = 0 et S = 0). ₀S₀ est un mode fondamental radial (Fig. I. 2).

Les oscillations sphéro�Eales altèrent la forme externe et la densit�Einterne de la Terre ; elles s'accompagnent donc de perturbations P Y_lm du potentiel gravitationnel. Au contraire, les oscillations toro�Eales possèdent des déplacements purement tangentiels et une divergence nulle ; ils laissent donc la forme et la distribution en densit�Eradiale r de la Terre intactes.

Aucune des relations scalaires gouvernant les fonctions propres radiales U, V, P ou W ne montre de dépendance avec l'ordre azimutal m. A cause de cela, toutes les fréquences propres w sphéro�Eales ou toro�Eales sont dégénérées avec un espace propre associ�Ede dimension (2l+1) défini par les harmoniques sphériques de surface Y_l-l, �E Y_l0,�E Y_ll. Cette dégénérescence en 2l+1 est propre �Eun modèle de type SNREI.

Fig. I. 2 Exemples de modes sismiques sphéro�Eaux pour l’ordre m = 0. Les amplitudes ne sont pas respectées.

 

 

            Lorsqu'il est nécessaire de distinguer entre les fréquences et les fonctions propres d'une Terre réelle et de type SNREI, une notation indicielle de type _nw_l^S, _nw_l^T, et _nU_l, _nV_l, _nW_l doit être utilisée. Le préfixe n =0, 1, 2,�E nombre d'harmonique, a ét�Eintroduit en prévision du fait que pour une valeur donnée du degr�Eharmonique l le nombre de modes sphéro�Eaux et toro�Eaux de fréquences propres _nw_l^S et _nw_l^T tend vers l'infini lorsque n ® ¥. L’ensemble des 2l+1 oscillations associées �Ela fréquence propre _nw_l^S ou _nw_l^T est appel�Eun multiplet, désign�Epar _nS_l pour les modes sphéro�Eaux et par _nT_l pour les modes toro�Eaux du manteau. Chaque fonction propre sphéro�Eale (pour un m donn�E σ_lm = _nU_l P_lm + _nV_l B_lm d'un multiplet _nS_l, et chaque fonction propre toro�Eale τ_lm = _nW_l C_lm d'un multiplet _nT_l, est appelée un singlet. Un multiplet est donc constitu�Ede 2l+1 singlets. Des exemples de modes sphéro�Eaux fondamentaux et toro�Eaux, d’ordre zéro, sont respectivement dessinés sur les figures (I. 2) et (I. 3). Lorsque l’ordre m est différent de zéro, la forme de la déformation associée est plus compliquée.

 

L’indice radial n correspond pour les modes toro�Eaux, au nombre de sphères nodales. C’est moins simple dans le cas des modes sphéro�Eaux car le déplacement a deux composantes, une composante radiale (_nU_l) et une composante tangentielle (_nV_l).

 

·        Pour la composante radiale _nU_l : �En donn�E il existe une valeur de l critique au dessus de laquelle le nombre de sphères nodales est n, et en dessous de laquelle il n’existe pas de relation entre ces deux grandeurs.

 

·        Pour la composante tangentielle _nV_l : il existe une autre valeur critique de l supérieure �Ela précédente, au dessus de laquelle le nombre de sphères nodales est n+1, et en dessous de laquelle il n’existe aucune relation entre ces deux grandeurs.

 

A n fix�E le déplacement est préférentiellement dans la partie superficielle de la Terre quand l augmente.

 

A l fix�E le nombre de sphères nodales augmente généralement avec n ; de même la profondeur �Elaquelle le déplacement devient négligeable augmente.

 

Tout écart d'un modèle de Terre au modèle SNREI enlève la dégénérescence et entraû‹e la séparation (splitting) et le couplage des modes.

 

Fig. I. 3 Exemples de modes sismiques toro�Eaux pour l’ordre m = 0.

 

   I.2.        Eclatement (‘splitting�E et couplage des modes

I.2.1       Couplage des modes

 

Dans le cas d’une Terre de type SNREI, les modes toro�Eaux ne sont pas observables par un gravimètre ou sur la composante verticale des sismomètres puisqu’ils n’ont pas de composante radiale. Lorsque l’on considère une Terre réelle (c'est-�Edire ellipso�Eale en rotation), un phénomène de couplage des modes de fréquences voisines se produit. Cela n’est possible que si certaines relations lient les nombres l, m et n des deux modes couplés (Dahlen, 1969) ; il peut lier un mode toro�Eal �Eun mode sphéro�Eal. Ainsi il est possible d’observer des modes toro�Eaux sur des instruments verticaux (par exemple Z�En et al., 2000).

 

 I.2.2       Splitting des modes

 

Le splitting (voir le schéma pour l = 1 sur la figure (I. 4)) des oscillations libres de la Terre a ét�Eobserv�Epour la première fois après le grand séisme du Chili de 1960 ; le caractère de doublet apparent des multiplets ₀S₂ et ₀S₃ a ét�Eimmédiatement attribu�E�Ela rotation de la Terre. Seulement deux parmi les cinq pour ₀S₂ (resp. sept pour ₀S₃) singlets étaient en effet visibles.

La rotation et l’ellipticit�Ehydrostatique associée contribuent de façon significative au splitting et au couplage des oscillations libres les plus graves. Cependant, l’éclatement d�Eaux autres perturbations (hétérogénéités latérales) est souvent beaucoup plus important. Les observations de ce splitting non hydrostatique peuvent aider �Econtraindre l’hétérogénéit�E latérale élastique et l’anisotropie �Eet donc la dynamique interne �Ede la Terre.

 

           

 

 

                                                                                                        →

 

 

 

Fig. I. 4 Schéma du splitting en amplitude spectrale d’un mode de degr�Eun en 2l+1=3 pics

 

Dahlen (1968) a propos�Eune loi de splitting quadratique en l’ordre m entre la fréquence propre w_m du m^ème singlet et la fréquence dégénérée w_d en l’absence de rotation et d’ellipticit�Ede la Terre, qui tient compte de la rotation et de l’ellipticit�Enbsp;:

 

w_m = w_d (1+a+bm+cm²),

 

o�E le terme b provient de l’effet au premier ordre de la force de Coriolis, les termes a et c de l’ellipticit�Eet des effets au second ordre de la rotation. Dans cette loi quadratique, les hétérogénéités latérales ne sont pas prises en compte. Le paramètre de perturbation c se décompose en c = c_e + c_n + c₂ avec c_e qui vient de l’ellipticit�E c_n de la partie non radiale du potentiel de rotation et c₂ de l’effet au second ordre de la force de Coriolis. Le paramètre de perturbation a s’écrit de la même façon avec un terme supplémentaire a_r qui provient de la partie radiale du potentiel de rotation. La moyenne des 2l+1 fréquences propres du multiplet de degr�El s’exprime alors sous la forme w_moyen = w_d (1 + a₂ + a_r + l(l+1)/3 c₂) = w_d (1+p). A partir des observations de w_m, on peut calculer w_moyen mais pour obtenir w_d, il faut estimer p, qui est fonction de la structure de la Terre. Les valeurs de p changent très peu d’un modèle de Terre acceptable �Eun autre (Buland et al., 1979).

 

 

 I.2.3       Résolution numérique des équations

 

            Le calcul des modes propres d’un modèle de Terre de type SNREI réaliste avec une graine solide, un noyau externe fluide, un manteau solide, une croûte et un océan fluide, nécessite une intégration numérique.

            Il est possible d’utiliser un code appel�EMINOS (Woodhouse, 1988), présent sur le site de Widmer-Schnidrig (http://www-gpi.physik.uni-karlsruhe.de/pub/widmer/Modes/modes.html) et du REM (The Reference Earth Model Website : http://mahi.ucsd.edu/Gabi/rem.html), pour calculer les fonctions et les fréquences propres d’un mode sphéro�Eal, toro�Eal ou radial, pour un modèle de Terre �Eune dimension (PREM, 1066A, 1066B ou CORE11).

 

            Le calcul analytique ou numérique des déformations globales et périodiques de modèles de Terre en rotation et de forme ellipso�Eale est beaucoup plus compliqu�Eque celui de modèles terrestres dépourvus de rotation et sphériques. L’influence de la rotation et de l’ellipticit�Esur les modes sismiques est habituellement quantifiée au moyen de méthodes de perturbation (par exemple Dahlen, 1968 ; Dahlen, 1969 ; Dahlen et Sailor, 1979). Dans ces cas, il n’est pas nécessaire de résoudre les équations de mouvement d’un modèle ellipso�Eal. Il suffit de perturber les fréquences et fonctions propres, calculées par MINOS par exemple, pour une Terre sphérique non rotative.

            Cependant, si l’on considère des modes de période supérieure �Eune heure, tels que les modes de translation de la graine, ou les modes gravito �Einertiels du noyau liquide, la rotation et l’ellipticit�Ene peuvent plus être traitées comme de petites perturbations. Smith (1974) développa les équations scalaires qui régissent les mouvements infinitésimaux d’un corps élastique en rotation lente.

 

Le déplacement total s enregistr�E�Ela surface de la Terre est la somme infinie de tous les modes propres sphéro�Eaux et toro�Eaux :

s =,

o�E σ_lm et τ_lm sont respectivement les champs vectoriels sphéro�Eal et toro�Eal du déplacement dans la base fonctionnelle des harmoniques sphériques.

 

La force de Coriolis et l’ellipticit�Ecréent un couplage entre les déplacements de degrés harmoniques différents de telle sorte que le déplacement total s peut se développer sous la forme :

s = Ou s = (Smith, 1974).

La résolution numérique de ces équations scalaires exige une troncature �Eun certain niveau. Les solutions de ces équations sont des solutions obtenues par intégration des équations, et non des solutions perturbées �Epartir des solutions pour un modèle de Terre de type SNREI.

 

 

 I.2.4       Intérêt de l’étude du splitting et du couplage des modes

 

L’observation du splitting de Zeeman (splitting d�E�Ela rotation en W², avec W la vitesse de rotation de la Terre) de multiplets individuels et du couplage de Coriolis entre des multiplets sphéro�Eaux et toro�Eaux apportent des améliorations dans les modèles de densit�E�Eune dimension (Widmer-Schnidrig, 2003). Le splitting de Zeeman et le couplage de Coriolis sont des faibles signaux qui contraignent le profil de densit�E1D bien plus que la masse de la Terre et le moment d’inertie. Le splitting d�E�Ela rotation est plus grand pour les multiplets basse fréquence �E cause de leur proximit�Ede la fréquence de rotation de la Terre. Z�En et al. (2000) ont soulign�Eque le couplage de Coriolis donne des contraintes linéaires sur le profile de densit�E très semblables au splitting de Zeeman. Accessoirement, les SG ont contribu�E�Equelques unes des meilleures détections du mode toro�Eal fondamental ₀T₂ (Z�En et al., 2000). En outre, le splitting des modes pour des fréquences inférieures �E1 mHz possède une grande sensibilit�E�Ela structure de densit�E3D dans le manteau et le noyau de la Terre. L’étude des modes propres sismiques les plus graves est donc précieuse pour affiner les modèles de Terre.

 

 

 I.3.       Modes sub-sismiques

 

Pour générer un mouvement ondulatoire lorsqu’une particule est perturbée par rapport �Esa position d’équilibre, une force de rappel est nécessaire. Dans le cas des modes sismiques la force de rappel est élastique. Mais, dans le noyau, d’autres forces entrent en jeu, puisque le noyau est un fluide stratifi�E en rotation, et soumis �Eun champ magnétique et �Eun champ gravitationnel. Ces forces de rappel possibles sont donc respectivement :

 

·        la force d’Archimède ® ondes de gravit�E/p>

·        la force de Coriolis ® ondes inertielles

·        la force de Lorentz ® ondes hydromagnétiques ou d’Alfvèn

 

A courtes périodes (dans la bande sismique) l’effet de ces forces est négligeable par rapport �Ela force de rappel élastique, mais leur influence augmente avec la période. Les oscillations libres dues �Eces forces de rappel sont les modes sub-sismiques dont les périodes sont supérieures �E54 minutes. Le déplacement est alors concentr�Edans le noyau. L’observation de ces modes du noyau fournirait des informations sur la stratification du noyau qui est assez mal contrainte par la sismologie. La stratification du noyau liquide est paramétrée par la fréquence de Brunt �EVäïsäl�Equi décrit le rôle de la force d’Archimède dans un fluide stratifi�E Cette fréquence est explicitée plus en détail dans le chapitre suivant.

 

 

I.4.       Conclusion

 

            Dans ce chapitre, nous avons présent�E la théorie des modes propres sismiques dont les périodes sont inférieures �Eune heure et qui sont observés après des tremblements de terre de magnitude supérieure �E6.5. Nous avons montr�Eque l’étude de ces oscillations libres apportait de précieuses informations sur la structure interne de la Terre.

            La présence du noyau liquide implique la présence de modes, dits sub-sismiques, de périodes supérieures �E une heure, dont les amplitudes prédites ne dépassent pas 10^-2 nm/s². Leur observation serait primordiale afin de contraindre notre connaissance du noyau.

En particulier, l’étude du mode sub-sismique de translation de la graine, qui est une oscillation libre de degr�Eun, appelée triplet de Slichter, apporterait des informations sur le saut de densit�E�E l’interface graine �Enoyau externe et sur la stratification du noyau liquide. Ce mode propre est présent�Edans le chapitre suivant.