CHAPITRE II      

 

Méthodes de détection d’un multiplet

 

 

            La difficult�Emajeure de la recherche d’un signal de faible amplitude, dans une analyse spectrale de Fourier, est de détecter sa résonance par rapport au niveau de bruit. Pour cela, nous avons repris l’idée de Smylie et al. (1999) qui consiste �Escanner l’ensemble du spectre �Ela recherche des meilleurs candidats pour un triplet qui obéit �Eune loi d’éclatement des modes (ce concept d’éclatement des modes ou splitting a ét�Eexplicit�Eau Chapitre I de la première partie). Dans un premier temps nous menons ce scan des fréquences �El’aide d’une loi classique de splitting utilisée en sismologie, puis dans un second temps, nous utiliserons une loi d’éclatement des modes plus générale pour les modes de Slichter de degr�Eun.

 

 

II.1          Multiplet qui obéit �Eune loi de splitting quadratique

 

II.1.1     Principe

 

Lorsqu’on considère une Terre sphérique non rotative, pour chaque mode de degr�El, les 2l+1 fréquences pour chaque ordre m sont identiques. Les modes sont dits dégénérés. Lorsqu’on introduit la rotation et l’ellipticit�E il y a éclatement des modes en 2l+1 fréquences distinctes. Dahlen (1968) a montr�Eque ces fréquences splittées obéissent �Eune loi de la forme :

 

,

 

avec ω_m la fréquence angulaire du mode d’ordre m et ω_d la fréquence dégénérée du mode de degr�El. a, b et c sont les paramètres du splitting dépendant du modèle de Terre utilis�E Ils se calculent �El’aide des paramètres du modèle de Terre par les relations définies dans Dahlen et Tromp (1998) et Dahlen et Sailor (1979). Dans cette formulation, le splitting d�Eaux hétérogénéités latérales n’est pas pris en compte.

 

            La méthode consiste �Ebalayer le spectre sur la bande des fréquences qui nous intéresse �El’aide d’un multiplet d’écartement fix�Eau départ par des valeurs théoriques et �Edétecter les meilleurs candidats, c'est �Edire les fréquences qui respectent l’écartement prédit par la loi de splitting et qui ont le plus grand produit spectral normalis�E c’est-�Edire la plus grande corrélation dans le temps.

 

 

II.1.2     Test sur un signal connu

 

Nous avons appliqu�Ecette méthode sur le spectre de Fourier de Strasbourg après le séisme du Pérou du 23 juin 2001 de magnitude 8.4. L’enregistrement considér�Ecommence 7 h après l’occurrence du séisme et dure 274 h. Le multiplet ₀S₂ de fréquence centrale proche de 0.3 mHz se distingue nettement sur le spectre d’amplitude de la figure (II. 1).

Les paramètres du splitting d�E�Ela rotation et �El’ellipticit�Esont ceux calculés par Dahlen et Sailor (1979) pour le modèle de Terre 1066A (Gilbert et Dziewonski, 1975) : a = 0.376 10^-3, b = 14.905 10^-3 et c = -0.267 10^-3. La fréquence dégénérée, en l’absence de rotation et d’ellipticit�Ede la figure, pour ce modèle est ω_d = 0.309371 mHz.

Le balayage du spectre entre les fréquences 0.2 et 0.4 mHz permet de détecter des fréquences obéissant �Ela loi de splitting proposée et le spectre produit normalis�Eest calcul�Epar la racine cinquième du produit des amplitudes des cinq pics. Le spectre produit normalis�E correspondant aux différents candidats, est représent�Esur la figure (II. 2) en fonction de la fréquence centrale du multiplet. A partir de la fréquence centrale du multiplet détect�E qui possède le plus grand produit spectral normalis�E on en déduit les cinq fréquences optimales respectivement pour m = -2, m = -1, m = 0, m = 1 et m = 2 : 0.2997, 0.3048, 0.3095, 0.3140 et 0.3183 mHz. Les valeurs que nous avons calculées (voir le chapitre I de la quatrième partie) pour le modèle 1066A en utilisant une méthode de perturbation (Dahlen et Sailor, 1979) et les fonctions propres obtenues avec le logiciel MINOS (Woodhouse, 1988) sont respectivement : 0.29993, 0.30479, 0.30949, 0.31402 et 0.31838 mHz. Ce qui donne des écarts relatifs par rapport aux prédictions de 0.08%, 0.0033%, 0.0032%, 0.0064% et 0.025%. Le multiplet ainsi détect�Ecorrespond aux fréquences de ₀S₂ avec un écart inférieur �E0.1%.

 

 

Fig. II. 1 Spectre d’amplitude en nm/s² de l’enregistrement du gravimètre cryogénique de Strasbourg environ 7 h après le séisme du Pérou. La longueur d’enregistrement considérée est de 274 h. Une marée synthétique locale a ét�Eôtée, ainsi que l’effet de la pression atmosphérique locale via une admittance barométrique de -3 nm/s²/hPa.

 

Les valeurs observées par ajustement d’une résonance (cela sera développ�Eplus en détail dans le Chapitre I de la quatrième partie) sur les cinq pics spectraux, sont 0.29986, 0.30450, 0.30905, 0.31386 et 0.31811 mHz. Les fréquences détectées par le scan ont donc des écarts relatifs de 0.05%, 0.098%, 0.14%, 0.045% et 0.06% par rapport aux observations.

Les valeurs détectées par cette méthode de balayage des fréquences sont donc en parfait accord avec la théorie et avec les observations. La méthode est donc efficace pour la détection de mode propre sismique.

 

Fig. II. 2 Spectre produit normalis�Ecalcul�Epour les différents quintuplés qui respectent l’éclatement prédit par Dahlen et Sailor (1979) pour le modèle de Terre 1066A en fonction de la fréquence centrale du multiplet.

 

Fig. II. 3 Spectre d’amplitude en nm/s² de l’enregistrement du gravimètre cryogénique de Strasbourg environ 7 h après le séisme du Pérou semblable �Ela figure (II. I) avec, en traits verticaux, les fréquences détectées par le scan.

 

 

II.2          Cas d’une loi de splitting plus générale appliquée au degr�Eun

 

II.2.1     Principe

 

La méthode présentée dans ce paragraphe a ét�Edéveloppée par Smylie et al. (1993). Ils l’ont appliquée au spectre produit de quatre enregistrements de gravimètres supraconducteurs, ce qui a men�E�Eun argument supplémentaire en faveur de la détection du triplet de Slichter aux fréquences proches de celles de Smylie (1992).

Sous des conditions très générales (Smylie et Jiang, 1993), un mode de période T_j obéit �Ela formule de splitting quadratique :

                                                         ,                                                 (II. 1)

 

o�ET₀ correspond �Ela période équivalente dans la cas d’une Terre non rotative (période dégénérée), T_s est la longueur du jour sidéral et g est un paramètre de splitting sans dimension. Un usage strict de cette relation exige que les paramètres g et T₀ dépendent du mode. Néanmoins, un ajustement très correct, aux périodes centrales observées (en supposant que ces périodes sont bien celles du mode de Slichter) et aux périodes théoriques calculées sous l’approximation sub-sismique du triplet de Slichter, pour un certain nombre de modèles de Terre, a ét�Eobtenu par Smylie et al. (1993) en traitant l’équation (II. 1) comme une relation empirique dans laquelle le paramètre g est différent pour chaque mode mais T₀ est le même pour les trois oscillations. Il est donc possible de considérer T₀ constant quelque soit le mode.

            Lorsqu’on a identifi�Eles trois périodes T_R (mouvement équatorial rétrograde), T_C (mouvement axial) et T_P (mouvement équatorial prograde), les paramètres T₀, g_R, g_C et g_P se calculent aisément par itération. En résolvant l’équation (II. 1), on obtient :

 

                                                                     ,                                            (II. 2)

                                                                    ,                                           (II. 3)

                                                                    .                                         (II. 4)

 

La valeur initiale de T₀ est la moyenne de T_R et -T_P et les valeurs initiales de g_R, g_C et g_P sont données par l’équation (II. 1). L’expression (II. 3) donne une valeur améliorée de l’écart T₀-T_C et par addition de la valeur donnée de T_C, on obtient une nouvelle estimation de T₀. Par itération, on converge rapidement vers les valeurs des paramètres T₀, g_R, g_C et g_P �Epartir des valeurs de T_R, T_C et T_P.

Inversement, �Epartir des valeurs de g_R, g_C et g_P ainsi estimées par Smylie et al. (1999), les équations (II. 2), (II. 3) et (II. 4) permettent de prédire les trois périodes de résonance pour toutes les valeurs de T₀. Il est ainsi possible de chercher, parmi toutes les fréquences, des modes d’oscillation correctement splittés selon cette loi. Nous avons ainsi une méthode de recherche des triplets de résonance correctement éclatés.

 

            Dans un premier temps, la méthode consiste �Erechercher automatiquement des résonances individuelles dans un spectre. La transformée de Fourier d’un signal temporel de type sinuso�Ee amortie est une fonction de résonance, de facteur de qualit�EQ préalablement fix�E�Eune valeur a priori, qui s’écrit sous la forme :   

 

                                                                        ,                                                (II. 5)

normalisée de sorte que  si on ajuste cette fonction sur nb points spectraux centrés sur la fréquence f_j. f_i correspond �Ela i^ème fréquence des 2nb+1 fréquences sur lesquelles on ajuste la résonance. L’erreur introduite par la recherche d’une résonance de la forme de l’équation (II. 5) est e_ij = A_jr_ij-s_i o�EA_j correspond �El’amplitude de la résonance et s_i �E l’estimation spectrale �Ela fréquence f_i. L’énergie de l’erreur est :

.

En minimisant cette énergie de l’erreur d’ajustement, on peut déterminer l’amplitude :

 et .

On quantifie ensuite la résonance détectée �Ela fréquence f_j par le paramètre S_j² = A_j²/I_min. Lorsqu’une résonance est bien ajustée par une résonance du type de l’équation (II. 5), S_j² est élev�E et quand l’ajustement est mauvais, on s’attend �Ece que S_j² soit petit.

            Parmi ces résonances détectées, on cherche alors celles dont les fréquences obéissent aux équations (II. 2), (II. 3) et (II. 4). Le meilleur candidat correspond au maximum du produit P des paramètres S_j² de chacun des triplets détectés.

 

 

II.2.2     Test sur un triplet synthétique

 

Le signal synthétique utilis�Eest analogue aux triplets synthétiques du chapitre I de cette partie. Nous considérons un triplet de fréquences 6.9186 10^-5, 7.3767 10^-5 et 7.7544 10^-5 Hz �Ela station Cantley sur 200000 points échantillonnés �Eune minute, d’amplitude 0.01 nm/s² pour les trois sinuso�Ees. Cette somme de trois sinuso�Ees est injectée dans un bruit blanc d’écart type σ = 0.5 nm/s². Le spectre correspondant fait ressortir le triplet (Fig. II. 4). La recherche des résonances présentes dans ce spectre permet de calculer les paramètres S_j², puis le produit des trois S_j² pour chaque résonance de fréquence obéissant �Ela loi de splitting quadratique (Fig. II. 5). A partir du maximum de ce produit, il est possible d’estimer les fréquences du meilleur triplet détect�E

 

Les fréquences détectées sont estimées �E0.06921, 0.07376 et 0.07761 mHz, correspondant �Edes écarts relatifs respectifs de 0.035%, 0.009% et 0.085% par rapport aux valeurs de fréquences des sinuso�Ees injectées.

 

Si l’on augmente le niveau de bruit �E1 nm/s², le scan propose différents triplets dont celui inject�Emais pas pour le maximum du produit des paramètres S_j². Il ne permet donc pas la détection d’un unique triplet, �Emoins de centrer le balayage vraiment sur la bande de fréquences entre 6.5 10^-5 et 9 10^-5 Hz, o�Ele triplet détect�Eest 6.911 10^-5, 7.366 10^-5 et 7.52 10^-5 Hz, correspondant �Edes erreurs relatives de 0.11%, 0.14% et 3%. Cette détection est entachée de plus grandes erreurs. En outre, réduire l’intervalle de balayage des fréquences suppose qu’on connaisse déj�El’ordre de grandeur de la période du signal cherch�E ce qui n’est bien sûr pas le cas du triplet de Slichter.

 

 

 

Fig. II. 4 Spectre d’amplitude du signal synthétique �ECantley constitu�Ede la somme de trois sinuso�Ees d’amplitudes 10^-2 nm/s² et de fréquences 6.9186 10^-5, 7.3767 10^-5, 7.7544 10^-5 Hz injectées dans du bruit blanc d’écart type 0.5 nm/s².

 

 

Fréquences (Hz)

 

Fig. II. 5 Produit P des résonances correctement splittées en fonction des fréquences. P = S_p² S_a² S_r² o�ES_p², S_a² et S_r² correspondent respectivement aux valeurs de S_j² pour des fréquences correctement écartées selon la loi de splitting imposée.

 

 

 

Fig. II. 6 (Haut) Spectre d’amplitude du signal synthétique �ECantley. Les traits verticaux indiquent le meilleur candidat détect�Epar la méthode de scanning. (Bas) Paramètre S_j² des résonances détectées en fonction des fréquences.

 

 

II.3          Conclusion

 

Nous avons démontr�El’efficacit�Edes méthodes de détection de multiplet proposées et testées sur un vrai signal sismique et sur des triplets synthétiques. Ces méthodes sont basées sur l’analyse spectrale classique de Fourier, mais elles peuvent être adaptées aux densités spectrales de puissance.

 

 

La non stationnarit�Ed’un signal rend l’analyse spectrale insuffisante, or dans la recherche du mode de translation de la graine, il est indispensable de considérer le cas de signaux non stationnaires. Si l’on introduit un amortissement de temps caractéristique six jours, correspondant �E un facteur de qualit�Ede l’ordre de 120, qui est la valeur estimée par Smylie (1992) �Epartir de ses observations, suivant la régularit�Ede l’excitation du mouvement de translation la graine, ces méthodes de sommation et de détection seront efficaces ou non. Si le mouvement est excit�Erégulièrement, l’analyse spectrale du résultat des méthodes de sommation permettra de mettre en évidence le triplet de Slichter. Par contre, si l’on considère un cas extrême d’excitation unique �Eun instant donn�E puis l’oscillation libre s’amortit de sorte �Ediminuer de 1/e au bout de 6 jours, alors les analyses spectrales sur le résultat des méthodes de sommation proposées seront inefficace car inadaptées. Nous verrons alors au chapitre III, qu’il est important d’utiliser d’autres types d’analyses plus appropriées aux signaux transitoires, telles que les analyses en ondelettes.