CHAPITRE III
Analyses en ondelettes
L’analyse de Fourier est sans conteste l’un des outils les plus puissants et les plus utilisés en traitement du signal géophysique. Néanmoins, bien que bâtie sur la base du concept physique de fréquence (spatiale ou temporelle), elle se révèle imparfaitement adaptée Ela description de fonctions ou signaux qu’on rencontre couramment. La raison essentielle en est que l’analyse de Fourier atteint ses performances optimales dans un contexte stationnaire, c’est-Edire quand le signal analysEprésente certaines propriétés d’invariance par translation. Or, les signaux géophysiques, par nature, ne rentrent pas dans ce contexte. Ils sont souvent multi - échelles et non stationnaires. L’emploi des ondelettes en géophysique est introduit dans Foufoula-Gergiou et Kumar (1995), tandis qu’un traitement théorique de l’analyse en ondelettes est donnée par Daubechies (1992). En effet, même si l’article le plus souvent citEcomme « révélateur » de la philosophie des ondelettes Ela communautEscientifique est celui du physicien Alex Grossman et du géophysicien Jean Morlet (1984), l’utilisation des ondelettes en géophysique était encore peu développée Ela fin du XXème siècle. « Cela résulte en partie du fait que l’utilisation en aveugle des ondelettes ne suffit pas pour obtenir des résultats scientifiques importants : la philosophie des ondelettes ne peut donner son maximum que si elle est profondément imbriquée dans la théorie physique des signaux qu’on désire analyser » (Moreau, 1995). Depuis, on notera des applications Ela géodésie (Schneider, 1998), El’étude de la gravitEet de la topographie de Vénus (Simons et al., 1997), Ela détection de lignes dans les images radar (Hagelberg et Helland, 1995), El’étude de la sismicitEdes Alpes occidentales (Bethoux et al., 1998), El’analyse des données de potentiel (Moreau et al., 1997 ; Sailhac, 1999), mais aussi Ela réinspection des secousses (jerks) géomagnétiques (Alexandrescu et al., 1995, 1996) ou des modes de Chandler (Gilbert et al., 1998). Gaillot (2000) a également appliquEl’analyse en ondelettes El’étude de la paléointensitErelative du champ magnétique terrestre, au pointage automatique de phases sismiques dans le cadre de la surveillance sismique et El’étude bidimensionnelle des champs de galaxies et des champs de fractures.
Dans la suite, nous rappelons les notions de base et le formalisme des ondelettes avant de présenter une famille d’ondelettes basée sur des signaux de type oscillations amorties. Nous avons utilisEcette famille d’ondelettes en supposant que le signal cherchE(le mode de translation de la graine) a un comportement oscillatoire amorti. L’utilisation d’une sinusoEe amortie pour effectuer des analyses en ondelettes n’est pas nouvelle, mais dans notre cas, nous avons fait en sorte de la rendre admissible pour l’analyse et la reconstruction de signaux. Des analyses en ondelettes de Morlet sont comparées aux analyses utilisant cette famille de sinusoEes amorties sur des signaux synthétiques couramment rencontrés en géophysique mais aussi sur des triplets de Slichter synthétiques. Nous avons développEnotre propre code d’analyse en ondelettes afin de bien comprendre ce qu’on manipule. Le code est écrit en MATLAB et calcule les coefficients de la transformée en ondelettes en passant par les transformées de Fourier du signal et des ondelettes.
III.1 Notions essentielles sur les ondelettes
III.1.1 Introduction aux ondelettes
L’introduction des ondelettes est venue peu Epeu pour palier au problème de non localisation spatiale des fonctions élémentaires e-i2pft utilisées comme base pour calculer la transformée de Fourier. Pour analyser un signal s non stationnaire, au lieu de le comparer Eces oscillations pures, on peut le comparer Eune fonction de base confinée Eune région de l’espace. Par similitude avec la transformée de Laplace oEl’on multiplie les fonctions oscillantes e-i2pft par un échelon de Heaviside, on peut remplacer e-i2pft par son produit avec une fenêtre ws(t-t0) Evaleur réelle caractérisée par sa position t0 et par sa largeur d’ouverture s :
.
Ceci
définit une décomposition temps Efréquence sous la forme d’une transformée de
Fourier Efenêtre glissante. Si ws
est une gaussienne, la fonction de base est une gaborette qui s’écrit : gs,t0(t) = p-1/2e-(t-t0)²/2s²ei2pft ; il s’agit de la transformée
de Gabor. InspirEpar ces gaborettes, on peut donner une autre écriture, oE
l’opérateur de translation agit sur ws(t) e-i2pft au lieu de ws(t) seulement, et oEla largeur d’ouverture s est ajustée Ela fréquence d’analyse
f : ceci définit l’ondelette de Morlet et introduit le cadre plus moderne
de la transformée en ondelette par décomposition en translatEEdilatEd’une
ondelette mère.
Le pavage temps - fréquence
correspondant par exemple aux bases de fonctions de Dirac et de fonctions de
Fourier sont des pavages par des rectangles infiniment fins et allongés qui
sont représentés schématiquement dans la figure (III. 1) (a) et (b). Dans le
cas de l’analyse temps Eéchelle, le pavage obtenu (Fig. III. 1 d) est un pavage par des domaines rectangulaires de
surface également constante (comme pour les pavages temps Efréquence dans la
base de Gabor par exemple Fig.
III. 1 c), mais ont une résolution fréquentielle relative
constante. Les avantages de la décomposition temps Eéchelle sont multiples.
L’analyse multi Eéchelle repose sur une forme de fonction unique (comparer
Fig. III. 1 c et d). Enfin, dans l’analyse temps Eéchelle, les
fonctions de base ont une taille de support proportionnelle Ela résolution
spatiale liée Eleur fréquence par l’inégalitEde Gabor. En d’autres termes,
sous la contrainte de l’inégalitEde Gabor, il est possible de contrôler les
résolutions temporelle et fréquentielle de l’analyse temps Eéchelle.
L’inégalitEde Gabor (plus connue sous le nom de l’inégalitEd’Heisenberg, utilisée en mécanique quantique) est une inégalitE fondamentale qui s’écrit pour toute fonction s de norme L2 égale Eun[1] :
,
oE
fait référence Ela
largeur de la fonction s, définie en fonction de son centre c(s), par :
, avec 
.
Si on appelle largeur fréquentielle 
d’une fonction s la
largeur de sa transformée de Fourier
, cette inégalitEinterdit donc d’avoir une fonction avec des
résolutions temporelle et fréquentielle toutes deux aussi petites que souhaitE
Fig.
III. 1 Fenêtres temps - fréquence utilisées dans
(a) l’analyse temporelle (base standard), (b) l’analyse de Fourier, (c)
l’analyse de Gabor et (d) l’analyse par ondelette et leur série temporelle
correspondante dans les espaces temporel et fréquentiel (d’après Lau et Weng,
1995).
Par leurs propriétés d’analyse locale et multi - échelles, les ondelettes offrent de nombreux avantages par rapport aux méthodes classiques de traitement du signal. Par exemple, la décomposition de Fourier n’apporte aucun élément temporel sur le signal car elle intègre l’ensemble du signal dans le temps. Elle n’apporte qu’un seul type d’information, dans le domaine fréquentiel. Les techniques d’analyse en ondelettes visent Eéclater le signal dans une représentation « espace - échelle » apte Edévoiler les dynamiques complexes (cyclicitE ou la nature multi Eéchelle du système. Cette représentation permet alors de réfléchir aux différents mécanismes agissant sur le système.
,oEnbsp;:
.
Le principe de la transformée en ondelettes consiste donc E
projeter le signal considérEsur une famille de fonctions Emoyenne nulle (les
ondelettes) Ψ(b,a), appelées aussi ondelettes analysantes ou ondelettes
filles, invariantes en forme et dérivant d’une fonction élémentaire, ou
fonction mère Ψ, par translations et dilatations. ‘aEest le paramètre de
dilatation ou d’échelle, ‘bEest le paramètre de translation ou de position et Ψ*(b,a)
est le complexe conjuguEde Ψ(b,a).
L’équation (III. 2)permet le calcul des coefficients d’ondelettes. Ces coefficients Ts(b,a), nombres Evaleur généralement complexe, contiennent toutes les informations dont on a besoin pour conduire une analyse multi - échelle.
Changer la valeur de ‘aEpermet de dilater (a>1) ou de contracter (a<1) la fonction Ψb,a (sens d’analyse multi E échelle) ; changer ‘bEautorise l’analyse de la fonction s(t) au voisinage de différents points b (sens d’analyse locale). Lorsque le paramètre d’échelle est grand, l’ondelette couvre une grande fraction du signal permettant d’extraire le comportement Elong terme de s(t). Au contraire, lorsque ‘aEest petit, la fraction du signal analysée est petite, permettant l’étude des variations locales Ehautes fréquences.
Ainsi, par ses propriétés de dilatation - contraction et de
translation, la transformée en ondelette, d’une fonction Eune dimension s(t),
est caractérisée dans le plan espace Eéchelle par une fenêtre dont la largeur
diminue lorsqu’on se focalise sur les structures de petite échelle (haute
fréquence) ou s’élargit lorsqu’on s’intéresse au comportement Egrande échelle
(basse fréquence). Cette capacitEd’adaptation en fonction de l’échelle
d’analyse lui a valu la dénomination de « microscope mathématique »
dont le grossissement est 1/a et l’optique est donnée par le choix de la
fonction mère (Meyer et al., 1987).
Par construction, une telle transformée en ondelettes est davantage une représentation temps - échelle qu’une représentation temps Efréquence mais pour des ondelettes raisonnablement localisées en fréquence autour d’une valeur f0, une interprétation temps Efréquence est possible moyennant l’identification formelle f = f0/a. La famille des ondelettes se comporte comme une base continue, avec pour conséquence l’existence d’une formule d’inversion exacte.
III.1.2 Propriétés et restrictions
Le choix de la fonction mère Ψ(t) n’est ni unique ni arbitraire. Elle doit répondre Ecertaines conditions. La condition nécessaire pour que Ψ є L1(R) puisse être utilisée comme ondelette analysante est qu’elle vérifie une condition d’admissibilitE/i> :
,OE
désigne la transformée
de Fourier de Ψ(t).
Ainsi elle a un support compact ou une décroissance suffisamment rapide pour être bien localisée dans l’espace, et sa moyenne nulle :
.
Ψ(t)
est une ondelette admissible seulement si elle répond aux deux conditions
énoncées ci-dessus. La seconde propriétEassure que Ψ(t) ‘onduleE(comme
une onde, une vaguelette) et la première, contrairement Ela transformée de
Fourier, que ces oscillations s’atténuent rapidement (énergie finie). Il est
évident que les deux conditions précédentes ouvrent la possibilitEd’utiliser
différentes fonctions mères. Cependant le choix est guidEpar diverses
considérations incluant, en particulier, une base physique ou Edéfaut la
ressemblance entre le signal analysEet la famille d’ondelette choisie. Le
caractère d’admissibilitEd’une ondelette est nécessaire pour pouvoir utiliser
cette ondelette Ela fois dans l’analyse et dans la reconstruction du signal.
Le coefficient Cy est utilisEcomme facteur de normalisation dans
la reconstruction, on l’appelle facteur de reconstruction.
Connaissant la transformée en ondelettes Ts(b,a) du signal s(t), l’équation (III. 4) donne la manière de reconstruire s(t) par superposition de ses composantes sur la base des ondelettes Ψ(b,a)(t).
Dans ce travail, nous ne nous intéressons pas Ela reconstruction des signaux mais cela pourra être réalisEultérieurement. L’intérêt de la reconstruction est de sélectionner une zone du scalogramme intéressante et de ne reconstruire le signal que pour ces fréquences et ces positions temporelles.
III.2 Scalogramme et exemples
III.2.1 Cas de l’ondelette de Morlet
L’ondelette de Morlet est une fonction particulièrement populaire pour la transformée en ondelettes. Il s’agit d’une gaussienne dont le spectre est translatEsuivant l’axe des fréquences (Fig. III. 2).
Fig. III. 2 Ondelette
de Morlet. (a) Fonction mère dans le domaine temporel. (b) Construction
de l’ondelette de Morlet (tirets noirs) par modulation d’une sinusoEe (courbe grise)
avec une gaussienne (courbe noire). (c) Ondelette dans le domaine fréquentiel.
Des exemples d’ondelettes de Morlet Etrois échelles différentes sont présentés sur la figure (III. 3). Nous utilisons la transformée de Fourier de l’ondelette de Morlet pour nos analyses temps - fréquence qui s’écrit sous la forme :
,
oEf0 est la fréquence initiale de l’ondelette mère. Le second terme de cette expression est un terme correcteur ajoutEEl’ondelette de Morlet pour la rendre admissible. De manière similaire, nous ajouterons un terme correctif El’ondelette qu’on introduit au paragraphe III.3, pour la rendre admissible.
Fig. III. 3 Ondelette de Morlet Etrois échelles différentes : de haut en bas, la fonction est dilatée, mais sa forme est invariante (par exemple il y a 5 extrema Echaque échelle).
III.2.2 Scalogramme : tests sur des synthétiques
Flandrin (1992) propose d’appeler |Ts(a,b)|² un scalogramme. Par analogie, le produit Ts(a,b)Tg(a,b)* est appelEscalogramme croisE/i>. Le scalogramme fournit une version ‘éclatéeEdes caractéristiques d’un processus dans le plan temps - fréquence. Le scalogramme croisEfournit la même version éclatée des interactions entre les deux processus. Ceci est particulièrement utile pour caractériser les structures d’un processus, ou les interactions entre processus, surtout quand ceux-ci sont non - stationnaires. Représenter le module ou le scalogramme (module au carrE de la transformée en ondelettes est équivalent.
De façon analogue EGaillot (2000), nous analysons des signaux synthétiques qui présentent des caractéristiques couramment rencontrées en géophysique, Esavoir :
(1) Modulation d’amplitude :
,
Une oscillation, de pulsation w, a son amplitude A modulée par une sinusoEe de pulsation W et d’amplitude a.
(2) Modulation de fréquence :
,
Une sinusoEe, d’amplitude B, a une pulsation w modulée par une sinusoEe de pulsation W et d’amplitude m.
(3) Changement brutal de fréquence :
,
Le signal harmonique considérEoscille Ela pulsation w1 pour des temps t<tc et sa pulsation devient w2 pour des temps t>tc.
(4) Changement temporel brutal :
,
Il s’agit d’une perturbation locale d’amplitude D rapidement atténuée par le paramètre s et n’ayant donc que des effets Ecourt terme. Cette perturbation commence Et = tc.
(5) SinusoEe amortie, d’amplitude A, de pulsation w, de phase f et débutant Et = tc :
s(t) = H(t-tc) A sin(w (t-tc) + f) e-(t-tc)/t,
oE H(t) désigne la fonction de Heaviside et t le temps caractéristique d’amortissement.
Dans la recherche des oscillations de degrEun de la graine, nous nous intéressons également Eun triplet synthétique de sinusoEes avec amortissement :
(6) Triplet de fréquences amorti débutant au temps t = tc :
,
oEAi, fi et ji sont respectivement l’amplitude, la fréquence et la phase de la composante i du triplet et t est le temps caractéristique d’amortissement.
Remarque : Pour les transformées en ondelettes de Morlet, nous avons représentEle cône d’influence, c’est-Edire la région du spectre d’ondelette dans laquelle les effets de bord deviennent importants. Ces effets de bord sont dus au fait que le signal considérEest de longueur finie. Une solution est d’ajouter des zéros Ela fin (padding) de la série de données avant d’effectuer la transformée en ondelette et de les enlever ensuite pour la représentation en scalogramme. Cependant, le fait d’ajouter des zéros aux extrémités du signal introduit des discontinuités au début et Ela fin du signal. Il est donc nécessaire de définir des limites d’interprétation du scalogramme. Le cône d’influence est défini ici comme le temps caractéristique de décroissance exponentielle pour l’auto - corrélation de la puissance de l’ondelette Echaque échelle. Ce temps d’atténuation est choisi de sorte que la puissance de l’ondelette pour une discontinuitEau bord chute d’un facteur e-2 et assure que les effets de bord sont négligeables au-delEce point. Nous avons repris l’expression du temps caractéristique d’atténuation proposEpar Torrence et Compo (1998) pour l’ondelette de Morlet afin de représenter le cône d’influence sur les scalogrammes. Lorsque les limites du cône d’influence ne sont pas visibles, nous avons zoomEet donc nous sommes éloignés des bords.
La transformée en ondelettes de Morlet d’une sinusoEe modulée en amplitude se caractérise par une succession de paquets centrés sur la fréquence dominante 2.8 10-4 Hz, soit une période d’une heure, correspondant Ela fréquence fondamentale w injectée. La figure (III. 4) représente le module au carrEet la phase de la transformée en ondelettes de Morlet de fréquence f0 = 0.01 Hz (Fig. III. 4 a). Si on augmente la fréquence de la fonction génératrice Ef0 = 0.02 Hz (Fig. III. 4 b), les paquets concentriques tendent Es’aplatir autour de la fréquence dominante.
(a) f0 = 0.01 Hz
(b) f0 = 0.02 Hz
Fig. III. 4 Transformée en ondelettes de Morlet d’un signal périodique modulEen amplitude. La fréquence dominante apparaû‘ comme une succession de paquets concentriques sur la fréquence 2.8 10-4 Hz, correspondant bien Ela fréquence fondamentale w de la sinusoEe modulée en amplitude. Les couleurs vont du bleu (valeur minimale) au rouge (valeur maximale). Les traits épais aux extrémités du scalogramme et de la phase marquent la limite oEles effets de bord deviennent importants. Le trait fin noir souligne les zones statistiquement significatives avec un niveau de confiance de 95%. L’ondelette de Morlet utilisée a une fréquence de (a) 0.01 Hz et (b) 0.02 Hz.
Le signal synthétique représentEen figure (III. 5) est une oscillation dont les fréquences fondamentales augmentent puis diminuent. Nous avons fixEla période, correspondant Ela pulsation w de l’équation précédente d’un signal modulEen fréquence, E0.5 h. Cette valeur de fréquence est parfaitement identifiée dans la représentation temps Efréquence par les minima des arches obtenues. La pulsation W du terme de modulation a étEfixée Ela période de 2 h.
f0 = 0.01 Hz
Fig. III. 5 Transformée en ondelettes de Morlet d’un signal modulEen fréquence. De haut en bas, le signal, le scalogramme et la phase sont représentés. La transformée d’un tel signal apparaû‘ comme une succession d’éléments oscillants formant des arches de minimum proche de 5 10-4 Hz (soit une période de 0.5 h) pour augmenter Eune fréquence de 6.5 10-4 Hz (soit une période de 0.4 h). Le trait fin noir souligne les zones statistiquement significatives E 5% (niveau de confiance 95%). Les traits épais noirs aux extrémités du module et de la phase marquent la limite oEles effets de bord deviennent importants.
La transformée en ondelettes de Morlet d’un signal synthétique contenant un changement brutal de fréquence de la sinusoEe a un module qui indique nettement le passage de la première fréquence (2 h) Ela suivante (1 h) par un saut dans les maxima (Fig. III. 6). La phase est également affectée par ce changement brutal de fréquence.
f0 = 0.01 Hz
Fig. III. 6 Transformée en ondelettes de Morlet d’une brutale variation de fréquence. De haut en bas, le signal, le module et la phase sont représentés. La variation brutale de fréquence est soulignée par un décalage dans les fréquences d’environ 1.4 10-4 Hz (2 h) Eenviron 2.8 10-4 Hz (1 h) Et ≈ 0.2 jour. Ce sont bien les périodes du signal synthétique respectivement avant et après t ≈ 0.2 jour. La variation brutale de fréquence est caractérisée également dans la phase autour de t ≈ 0.2 jour. Les traits épais noirs aux extrémités du module et de la phase marquent la limite oEles effets de bord deviennent importants. Le trait fin noir souligne les zones statistiquement significatives E5% (niveau de confiance 95%).
La transformée en ondelettes de Morlet d’une sinusoEe amortie est caractérisée en module par un paquet d’énergie autour de la fréquence principale et autour du temps du début d’excitation de la sinusoEe (Fig. III. 8). L’amortissement est indiquEpar la forme du paquet qui s’aplatit avec le temps. La phase n’apporte pas d’information clairement apparente.
Nous considérons maintenant le cas synthétique du triplet de Slichter modélisEpar la somme de trois sinusoEes amorties, et de phases nulles.
f0 = 0.05 Hz
Fig. III. 8 Transformée en ondelettes de Morlet d’un signal harmonique amorti. De haut en bas, le signal, le module et la phase sont représentés. Le trait fin noir souligne les zones statistiquement significatives E5% (niveau de confiance 95%). La zone considérée étant éloignée des bords, les limites oEles effets de bord deviennent importants ne sont pas visibles.
Dans le cas de la figure (III. 9), l’amplitude Ai des trois sinusoEes est fixée Eun et les fréquences fi sont respectivement 5.9 10-5 Hz (4.687 h), 6.5 10-5 Hz (4.255 h) et 7.1 10-5 Hz (3.894 h), correspondant aux périodes prédites par Rieutord (2002) pour le modèle de Terre 1066A (cf. première partie, chapitre 2). Les phases fi sont nulles. L’amortissement est supposEêtre le même pour les trois composantes et on choisit un temps caractéristique d’amortissement t d’un jour. La transformée en ondelettes de Morlet de fréquence 0.1 Hz est suffisante dans ce cas pour distinguer les trois fréquences du triplet sur le scalogramme. La phase signale seulement la présence d’oscillations autour de t = 4 jours, temps auquel le signal est introduit.
La figure (III. 10) représente la somme de trois sinusoEes d’amplitudes respectives 2 nm/s², 1 nm/s² et 2 nm/s², d’amortissement un jour, et de fréquences 6.92 10-5, 7.37 10-5 et 7.75 10-5 Hz correspondant aux fréquences de Slichter proposées par Courtier et al. (2000). Cette fonction source commence au temps t0 = 6 jours. La transformée en ondelettes de Morlet de fréquence 0.01 Hz (voir Fig. III. 10 a) ne permet pas de distinguer les trois fréquences du triplet mais le début de l’excitation et l’enveloppe du signal sont clairement représentés. Par contre, avec une ondelette de Morlet de fréquence plus élevée (par exemple 0.1 Hz et 0.2 Hz sur les figures (III. 10) b et c), la phase n’apporte plus d’information sur le signal, mais le module s’étale mieux sur les fréquences du triplet. Cependant nous n’arrivons pas Erésoudre les trois fréquences. Dans le cas de la figure (III. 10) (c) (f0 = 0.2 Hz), le scalogramme respecte mieux l’amortissement du signal.
f0
= 0.1 Hz
Fig.
III. 9 Transformée en ondelettes de Morlet d’une
somme de trois sinusoEes de fréquences rapprochées. De haut en bas, le signal, le module et la phase sont
représentés. Le trait fin noir souligne les zones statistiquement
significatives E5% (niveau de confiance 95%). Les amplitudes des trois
sinusoEes sont égales E1, leurs fréquences sont respectivement 5.9 10-5
Hz (4.687 h), 6.5 10-5 Hz (4.255 h) et 7.1 10-5 Hz (3.894
h), et le temps caractéristique t d’amortissement du signal est
d’un jour. La phase n’apporte qu’une très faible indication sur le signal. Par
contre, le module met distinctement en évidence le triplet de fréquences.
Le choix de la fréquence de l’ondelette de Morlet est donc important. Par référence El’inégalitEde Gabor (cf. équation III. 1), une forte résolution temporelle est compensée par une faible résolution spectrale. Une transformée en ondelettes de Morlet, de fréquence f0 faible, va plus s’étaler en temps car l’ondelette de Morlet aura de larges oscillations, mais du coup la transformée en ondelettes sera mieux résolue en fréquences, et vice-versa.
(a) f0 = 0.01 Hz
(b) f0 = 0.1 Hz
(c) f0 =
0.2 Hz
Fig. III.
10 Transformée en ondelettes de Morlet de la
somme de trois sinusoEes d’amplitudes 2, 1, 2 nm/s², d’amortissement un jour, et
de fréquences 6.92 10-5, 7.37 10-5 et 7.75 10-5
Hz qui correspondent aux fréquences de Slichter proposées par Courtier et al.
(2000). Cette fonction source commence au temps t0 = 6 jours. De
haut en bas, le signal, le module et
la phase sont représentés. Le trait fin noir souligne les zones statistiquement
significatives E5% (niveau de confiance 95%). La fonction génératrice est une
ondelette de Morlet de fréquence (a) 0.01 Hz, (b) 0.1 Hz et (c) 0.2 Hz.
Nous avons considérEun an de données Ela station gravimétrique de Strasbourg sur l’année 2000, échantillonnées Eune minute. Les marées et l’effet de pression atmosphérique locale ont étEôtés par analyse avec le logiciel ETERNA (Wenzel, 1996) qui ajuste les facteurs gravimétriques locaux et une admittance barométrique. Les résidus de variations temporelles de gravitEont étEcorrigés des éventuels problèmes d’acquisition et des gros séismes présents dans les données avant l’analyse ETERNA. Nous avons ajoutEE ce vrai signal gravimétrique, la somme de trois sinusoEes excitées au 83ème jour de l’année, d’amplitudes respectives 2, 1 et 2 nm/s², amorties avec un temps caractéristique d’un jour et de fréquences 6.92 10-5, 7.37 10-5 et 7.75 10-5 Hz qui correspondent aux fréquences de Slichter proposées par Courtier et al. (2000). Le signal ainsi constituEest représentE sur l’ensemble de l’année 2000 par la figure du haut (III. 11). Le module de la transformée en ondelettes de Morlet met en évidence la présence du signal oscillant dans les données. Cependant, seulement deux des trois pics du triplet injectEsont résolus par l’analyse de Morlet, et ce, quelle que soit la fréquence de l’ondelette de Morlet génératrice de la famille.
f0 = 0.1
Hz
Fig. III. 11 Transformée en ondelettes de Morlet de la somme de trois sinusoEes d’amplitudes 2, 1 et 2 nm/s², d’amortissement 1 jour et de fréquences respectives 6.92 10-5, 7.37 10-5 et 7.75 10-5 Hz qui correspondent aux fréquences de Slichter proposées par Courtier et al. (2000). Ce triplet de fréquences a étEinjectE au temps initial t = 83 jours, dans les résidus 1 min corrigés EStrasbourg Epartir d’un an d’enregistrement sur l’année 2000. De haut en bas, le signal, le module et la phase sont représentés. Le trait fin noir souligne les zones statistiquement significatives E5% (niveau de confiance 95%).
Nous avons repris les mêmes données et injectEla somme de trois sinusoEes identiques aux précédentes, sauf que cette fois les trois amplitudes ont étEfixées E2 nm/s². Cette fois, le pic central du triplet de fréquences ressort légèrement (Fig. III. 12).
Le module d’une transformée en ondelettes reproduit les variations de l’amplitude du signal. Cependant la phase perd sa signification lorsque le module est trop faible, et donc quand le rapport signal sur bruit n’est pas assez élevE Ceci s’explique par l’absence de dépendance de la phase avec l’échelle (les parties réelle et imaginaire sont dépendantes de l’échelle mais leur rapport ne l’est plus), contrairement au module. Lorsque l’ondelette est dilatée, le module est conjointement rehaussE Inversement, lorsqu’il y a contraction, le module est diminuE C’est pourquoi dans le cas oEdu bruit est introduit, la phase n’apporte aucune information.
Les transformées de Fourier des signaux synthétiques ci-dessus ne permettent pas de distinguer entre des signaux modulés en amplitude, en fréquences ou la somme de trois sinusoEes, contrairement aux analyses en ondelettes. Les spectres d’amplitude correspondants aux cas analysés ci-dessus sont représentés sur la figure (III. 13).
f0 = 0.1
Hz
Fig. III. 12 Transformée en ondelettes de Morlet de la somme de trois sinusoEes d’amplitudes 2 nm/s², d’amortissement 1 jour et de fréquences 6.92 10-5, 7.37 10-5 et 7.75 10-5 Hz qui correspondent aux fréquences de Slichter proposées par Courtier et al. (2000). Ce triplet de fréquences a étEinjectE au temps initial t = 83 jours, dans les résidus 1 min corrigés EStrasbourg Epartir d’un an d’enregistrement sur l’année 2000. De haut en bas, le signal, le module et la phase sont représentés. Le trait fin noir souligne les zones statistiquement significatives E5% (niveau de confiance de 95%).
Identifier les structures d’un signal Epartir de données bruitées est un problème omniprésent en traitement du signal. La détermination des zones statistiquement significatives a étE réalisée El’aide de la méthode proposée par Torrence et Compo (1998). Mais ces niveaux de confiance doivent être interprétés avec prudence. En particulier, on doit regarder la taille des zones dites statistiquement significatives et leur distribution spatiale. Ces deux observations sont des mesures subjectives qui posent le même problème que dans l’analyse de Fourier. A-t-on un pic isolE dépassant Epeine le seuil critique ou bien a-t-on un large pic au-dessus du seuil ? Le seuil choisi n’est qu’une aide pour décider si les résultats sont significatifs, mais pour cela il faut d’abord avoir des candidats. C’est pourquoi par la suite nous ne nous attacherons pas Eces problèmes de zones statistiquement significatives, mais nous inspecterons les scalogrammes en concentrant notre attention sur les échelles oEil peut y avoir des pics « intéressants ».
Fig. III. 13 Spectres de Fourier en amplitude pour différents signaux synthétiques. (1) signal modulE en amplitude, (2) modulation de fréquence, (3) changement brutal de fréquence, (4) changement brutal en temps, (5) triplet de fréquences et (6) triplet de fréquences injectEdans un vrai signal de gravitErésiduelle enregistrée E Strasbourg (cas correspondant Ela figure (III. 11)).
III.3 Création d’une ondelette « sinus amorti » admissible
En s’inspirant de la représentation en sinusoEe amortie, couramment utilisée pour décrire un signal géophysique, comme par exemple en sismologie pour les ondes et les modes propres, nous avons décidEd’utiliser une ondelette de cette forme en supposant que le signal recherchE le mode de translation de la graine, est un signal harmonique. Certes l’emploi d’une sinusoEe amortie est classique, mais ici nous la modifions, de manière similaire El’ondelette de Morlet, afin de la rendre admissible.
III.3.1 Son expression
Un signal harmonique s’écrit dans le domaine complexe :
avec f0 la
fréquence propre du signal et
a le taux d’amortissement donnEpar :
a = 1/t oE
t est
le temps caractéristique de l’amortissement. La transformée de Fourier de cette
fonction, en ne considérant que les fréquences positives, s’écrit (pp. 234-235 dans
Dahlen et Tromp, 1998) :
Les parties réelle et imaginaire, ainsi que le spectre d’un signal harmonique amorti de fréquence f0 sont représentées sur la figure (III. 14). La largeur Emi-hauteur du maximum du carrEdu module du spectre est notée Df. Le facteur de qualitEQ est défini par a = 2pf/2Q E/span> Q = f0/Df.
III.3.2 Orthogonalite et admissibilite
Orthogonalite
L’ondelette mère définie dans le paragraphe précédent ne permet pas de générer une famille d’ondelettes continues orthogonales si f0 et a sont indépendants, c'est-Edire dans deux plans différents. On introduit donc un paramètre K tel que a = K f0. Ce paramètre K est équivalent E l’inverse d’un facteur de qualitEQ-1 Vérifions maintenant l’admissibilitEde l’ondelette génératrice ainsi créée.
Admissibilite
Le module au carre de la transformée de Fourier du signal harmonique s’écrit :
Pour
tester son admissibilite on définit
.
Nous
avons vu au paragraphe III.1 que pour être admissible, Cg doit être
fini en +inf
et en 0, et que
.
g0 est non admissible !
Pour rendre cette ondelette admissible, on s’inspire du cas de l’ondelette de Morlet a laquelle un terme correctif a éte ajoute. Le problème de notre ondelette provient des basses fréquences. On ajoute donc un terme de forme analogue au terme principal qui permet d’éliminer les basses fréquences en ajoutant des hautes fréquences. L’ondelette mère g est donc remplacée par l’ondelette h dont le spectre s’écrit sous la forme :
, avec
a = K f0.
Cette
fois la condition 
est bien respectée et
si on calcule de nouveau Ch pour cette nouvelle expression, on
obtient :
Þ 
h0 est admissible
Nous avons donc cherchEErendre l’ondelette admissible, même si, par la suite, nous ne nous intéresserons qu’à l’analyse de signaux et non Eleur reconstruction avec cette famille d’ondelettes. Cela fera l’objet d’un travail futur.
P0 :
(f0,
a0)
paramètres de l’ondelette mère
P* : (f*, a*) paramètres de la source cherchée
Fig.
III. 15 Schéma explicatif des paramètres de
l’ondelette génératrice. Les droites de pente K sont dessinées pour différentes
valeurs de K : K1 supérieure E
a*/f*, K2
et K3 inférieures E
a*/f*.
L’intérêt majeur d’introduire une constante K entre la
fréquence f0 et l’amortissement
a, est, par orthogonalitE
l’unicitEdu signal transformE En effet, considérons deux signaux, l’un de
fréquence élevée et rapidement amorti puis re-excitE l’autre de fréquence plus
faible mais faiblement amorti. Les transformées en ondelette des ces deux
signaux seront les mêmes si on ne considère pas cette constante K entre la
fréquence et l’amortissement, bien qu’ils aient des enveloppes différentes. En
contraignant
a
= K f0, on tient compte de la forme de l’enveloppe et ainsi on
définit bien le bon signal.
La famille d’ondelettes ainsi générée dépend donc du paramètre K. Nous avons représente schématiquement (III. 15), le paramètre a en fonction de la fréquence.
Si P* appartient au plan de la transformée en ondelette (plan (K, t)), a = f0/f* et a0/a* = a, sinon f0/f* ≠ a0/a*. Il s’agit donc de trouver K tel que la droite a = K f passe par le point P* de coordonnées (f*, a*). Pour cela, nous cherchons la valeur de K correspondant au scalogramme de plus grande amplitude maximale.
III.3.3 Influence du paramètre K : Cas d’une sinusoEe amortie
Considérons une sinusoEe amortie de fréquence 3 10-5 Hz avec un taux d’amortissement d’un jour, échantillonnée Eune minute. Dans ce cas, K = 1/1 jour/3 10-5 Hz = 0.38. La représentation temporelle de ce signal synthétique est montrée dans le graphique du haut de la figure (III. 16). Sa transformée en ondelettes de Morlet est symétrique en temps autour du début de l’excitation (cf. Fig. III. 8). La forme de la sinusoEe amortie n’est pas conservée. Par contre, en utilisant une famille d’harmoniques amorties comme décrite précédemment au paragraphe (III.3), on obtient sa transformée en ondelettes « sinus amorti » qui représente la forme du signal source et surtout, rend clairement visible le début de l’excitation (Fig. III. 16) : il n’y a plus d’étalement symétrique autour du temps origine de la source. En comparant les phases, l’analyse en sinus amorti (Fig. III. 16) apporte de l’information sur le début du signal alors qu’on ne peut rien déduire de la phase obtenue dans l’analyse de Morlet.
Lorsqu’on diminue la valeur K de la fonction génératrice, la transformée en ondelettes « sinus amorti » se concentre sur la fréquence de la source mais s’allonge en temps (cf. Fig. III. 16 a). En effet, plus K est petit, moins l’ondelette mère est amortie. Au contraire, si K a une valeur supérieure Ecelle du signal analysE l’ondelette est plus vite amortie donc plus localisée en temps et la transformée en ondelettes « sinus amorti » a un module plus concentrE sur le début de l’excitation et plus étalEen fréquences (cf. Fig. III. 16 c).
(a) K = 0.01
(b) K = 0.1
(c) K = 0.5
Fig.
III. 16 Transformée en ondelettes « sinus
amorti » d’une sinusoEe amortie de fréquence principale f0 = 3
10-5 Hz avec un temps caractéristique de décroissance t
d’un jour. De haut en bas, le signal, le module et la phase de la transformée
en ondelettes « sinus amorti » avec (a) K = 0.01, (b) K = 0.1 et (c)
K = 0.5 sont représentés.
Par construction de l’ondelette « sinus amorti », lorsque K augmente, le temps caractéristique d’amortissement t diminue (a augmente) et donc la région oEles effets de bord deviennent importants est plus étroite. Donc, plus K est élevE plus on a de signal temps Eéchelle représentatif. C’est ce que nous voyons sur les tests synthétiques du paragraphe suivant.
III.3.4 Applications Edes synthétiques et comparaison avec l’ondelette de Morlet
Reprenons les signaux synthétiques analysés dans la section (III.2.2) avec une famille d’ondelettes de Morlet, pour les analyser El’aide d’ondelettes « sinus amorti ». Dans ce cas, le temps caractéristique nécessaire pour que la puissance de l’ondelette soit amortie de e-2 est le temps d’amortissement t = 1/a. Nous n’avons pas calculEles zones statistiquement significatives dans le cas de notre ondelette car nous n’utiliserons pas ces seuils de détection dans nos analyses sur les données réelles. Mais cela pourra être éventuellement fait dans un futur travail.
La transformée en ondelettes « sinus amorti » d’une sinusoEe modulée en amplitude (Fig. III. 17) se caractérise par une succession de paquets centrés sur la fréquence dominante 2.8 10-4 Hz, soit une période d’une heure, correspondant bien Ela fréquence fondamentale w injectée, de manière analogue El’analyse utilisant une ondelette de Morlet. Cependant si le paramètre K est trop faible (ex. K = 0.5), le module de la transformée en ondelettes « sinus amorti » tend vers une droite centrée sur la fréquence dominante d’une heure, mais n’apporte plus d’information sur le caractère modulEdu signal (Fig. III. 17 a). Avec un paramètre K plus élevE(ex. K = 2), les paquets se distinguent (Fig. III. 17 b) et sont donc caractéristiques d’un signal modulE en amplitude.
Une modulation en fréquence s’illustre, comme avec l’ondelette de Morlet, par des arches dans le module du scalogramme (Fig. III. 18), qui se distinguent mieux avec K = 2 par exemple (Fig. III. 18 b) plutôt qu’avec K = 0.5 (Fig. III. 18 a). En outre, chaque oscillation est plus détaillée qu’avec une analyse en ondelette de Morlet.
La variation brutale de fréquence est soulignée par un
décalage dans les fréquences d’environ 1.4 10-4 Hz (2 h) Eenviron
2.8 10-4 Hz (1 h) Et = 0.2 jour (Fig.
III. 19). Ce sont bien les périodes du signal synthétique
respectivement avant et après t = 0.2 jour. La variation brutale de fréquence
est caractérisée également dans la phase de la transformée en ondelettes
« sinus amorti » par un gradient temporel élevEautour de t = 0.2
jour. Contrairement aux deux cas précédents de signal modulEen amplitude ou en
fréquence, l’analyse avec un paramètre K de l’ordre de 0.5 (Fig. III. 19 a) par exemple, permet de mieux faire ressortir le
changement de fréquence que celle utilisant K = 2 (Fig. III. 19 b).
Une perturbation brutale du signal Et = 0.25 jour est nettement détectée et localisée en temps et en fréquence par l’analyse (Fig. III. 20), aussi bien avec le module qu’avec la phase. LE aussi il vaut mieux utiliser un paramètre K assez faible.
De ces tests nous pouvons conclure,
qu’une analyse en ondelettes « sinus amorti » de paramètre K plutôt
grand, est appropriée Ela recherche de modulation (en amplitude ou en
fréquence) de signaux, tandis l’utilisation d’un paramètre K plutôt petit est
plus adaptée Ela recherche de singularitE
(a) K = 0.5
(b) K = 2
(a) K = 0.5
(b) K = 2
Fig. III. 18 Transformée en ondelettes « sinus amorti » d’un signal modulEen fréquence. De haut en bas, le signal, le module et la phase sont représentés. La transformée d’un tel signal apparaû‘ comme une succession d’éléments oscillants formant des arches de minimum proche de 5 10-4 Hz (soit une période de 0.5 h) pour augmenter Eune fréquence de 6.5 10-4 Hz (soit une période de 0.4 h). Le paramètre K a étErespectivement fixEE(a) 0.5 et (b) 2. L’augmentation de K permet de mieux faire ressortir la forme du signal injectE Sur la phase, l’information est marquée par des traits verticaux qui ondulent.
(a) K = 0.5
(b) K = 2
Fig. III. 19 Transformée en ondelettes « sinus amorti » d’une brutale variation de fréquence. De haut en bas, le signal, le module et la phase sont représentés. La variation brutale de fréquence est soulignée par un décalage dans les fréquences d’environ 1.4 10-4 Hz (2 h) Eenviron 2.8 10-4 Hz (1 h) Et = 0.2 jour. Ce sont bien les périodes du signal synthétique respectivement avant et après t = 0.2 jour. La variation brutale de fréquence est caractérisée également dans la phase par un gradient temporel élevEautour de t = 0.2 jour. Le paramètre K a étErespectivement fixEE(a) 0.5 et (b) 2.
(a) K = 0.5
(b) K = 2
Fig. III. 20 Transformée en ondelettes « sinus amorti » d’une perturbation brutale du signal dans le temps. De haut en bas, le signal, le module et la phase sont représentés. La singularitEest définie Et = 0.25 jour. Le trait épais noir El’extrémitEdu module et de la phase marque la limite oEles effets de bord deviennent importants. Nous sommes éloignés de la fin du signal, c’est pourquoi la limite des effets de bord Edroite n’est pas visible. Le paramètre K a étErespectivement fixEE(a) 0.5 et (b) 2.
Reprenons le cas d’un triplet de fréquences. Pour analyser une somme de sinusoEes, il s’avère être plus efficace de prendre une valeur de K faible, voire très faible. Les amplitudes des trois sinusoEes sont égales Eun, leurs fréquences sont respectivement 5.9 10-5 Hz, 6.5 10-5 Hz et 7.1 10-5 Hz, et le temps caractéristique t est d’un jour. Nous avons représentEles scalogrammes, déterminés par transformée en ondelettes « sinus amorti », pour K = 0.05 (Fig. III. 21 a) et K = 0.2 (Fig. III. 21 b). La phase apporte une indication plus marquée sur le début du signal. Le module met en évidence les trois fréquences de façon aussi distincte qu’avec l’analyse en ondelettes de Morlet. La forme est respectée et le caractère amorti ressort nettement. Mais avec un K trop faible, le temps d’amortissement est artificiellement augmentE Si l’on veut estimer l’amortissement, il est donc impératif d’estimer d’abord le paramètre K optimal (c’est-Edire Q-1). Cela fera l’objet d’un travail ultérieur.
Dans le cas d’une somme de trois sinusoEes dont l’une est d’amplitude plus faible que les deux autres, il n’est pas possible de distinguer les trois pics de fréquence (Fig. III. 22) mais seulement les deux fréquences extrêmes, comme dans le cas de l’analyse avec une famille d’ondelettes de Morlet (cf. figure (III. 10)). L’ordre de grandeur optimal du paramètre K semble, lEaussi, être de 0.05 (Fig. III. 22 b).
L’analyse en ondelettes « sinus amorti » d’un signal formEde la somme de trois sinusoEes injectée dans les résidus de gravitEEStrasbourg sur l’année 2000 a étEréalisée (voir le module de la transformée en ondelettes « sinus amorti » sur la figure (III. 23)). Les deux fréquences extrêmes, d’amplitudes deux fois plus élevées que celle correspondant Ela fréquence centrale, ressortent très bien, comme avec l’analyse en ondelettes de Morlet (cf. Fig. III. 11). Par contre, dans les deux cas, la fréquence centrale n’est pas du tout visible. La forme de sinusoEe amortie s’observe clairement et le début du triplet d’oscillations périodiques est nettement marquE contrairement au cas de l’ondelette de Morlet. La phase semble clairement marquer le début de l’oscillation.
(a) K = 0.05
(b) K = 0.2
Fig. III. 21 Transformée en ondelettes « sinus amorti » d’une somme de trois sinusoEes de fréquences rapprochées. De haut en bas, le signal, le module et la phase sont représentés. Les amplitudes des trois sinusoEes sont égales E1, leurs fréquences sont respectivement 5.9 10-5 Hz, 6.5 10-5 Hz et 7.1 10-5 Hz, et le temps caractéristique t d’amortissement est d’un jour. La phase apporte une indication plus marquée sur le début du signal. Le module met en évidence le triplet de fréquences. Le paramètre K a étErespectivement fixEE(a) 0.05 et (b) 0.2.
(a) K = 0.5
(b) K = 0.05
